¿Cuál es la relación entre la ecuación característica en álgebra lineal y la ecuación característica discutida en ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Suponga que tiene una buena ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes: [matemática] y ^ {(n)} + c_ {n-1} y ^ {(n-1)} +… + c_1 y ‘+ c_0 y = 0 [/ matemáticas]

Esto tiene un polinomio característico [matemático] r ^ n + c_ {n-1} r ^ {n-1} +… + c_1 r + c_0 = 0. [/ Matemático]

Puede convertir esta ecuación diferencial de enésimo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: Establezca [matemáticas] x_0 = y, x_1 = y ‘,…, x_ {n-1} = y ^ {(n-1)}. [ /matemáticas]

[matemáticas] x_0 ‘= x_1, x_1’ = x_2,…, x_ {n-2} ‘= x_ {n-1} [/ matemáticas]

y luego [matemáticas] x_ {n-1} ‘= y ^ {(n)} = -c_ {n-1} y ^ {(n-1)} – c_ {n-2} y ^ {(n- 2)}. [/ Matemáticas]

Entonces, por ejemplo, si tenemos la ecuación de tercer orden [matemáticas] y ” ‘+ 2 y’ ‘+ 3y’ -y = 0, [/ matemáticas] esto se convierte en un sistema de primer orden

[matemática] \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \ end {array} \ right) \ mathbf {x} ‘= \ mathbf {x}. [/ math]

Ahora, si tomamos el polinomio característico de esta matriz, ¿qué obtenemos?

[matemáticas] \ izquierda | \ begin {array} {ccc} – \ lambda & 0 & 1 \\ 1 & – \ lambda & -3 \\ 0 & 1 & -2- \ lambda \ end {array} \ right | = \ lambda ^ 2 (-2- \ lambda) – (- \ lambda) * 1 * (- 3) – 0 * (…) + 1 * 1 * 1 – 1 * (- \ lambda) * 0 = – \ lambda ^ 3 – 2 \ lambda ^ 2 – 3 \ lambda + 1 = 0. [/ math]

Y así recuperamos el mismo polinomio característico (hasta una multiplicación por -1). Esto siempre funciona. La matriz que obtiene mediante este procedimiento siempre tiene unos en la diagonal inferior y los coeficientes de su ecuación diferencial en la última columna. Debido a esta estructura especial, puede averiguar que el polinomio característico de la matriz es el mismo que el polinomio característico de la ecuación diferencial.