Incluso si todo lo que sabemos es que [matemática] x [/ matemática], [matemática] y \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], sabemos que [matemática] y ^ 2 \ ge0 [/ matemática], que significa que [matemáticas] x ^ 3 \ ge0 [/ matemáticas] y, a su vez, [matemáticas] x \ ge0 [/ matemáticas]. Como [math] x [/ math], [math] y \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math], es algo más fácil aún.
Para inspirarse, considere [matemáticas] a ^ 6 [/ matemáticas], donde [matemáticas] a \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ matemáticas]. ¿Puedes usar [math] a [/ math] para parametrizar los puntos [math] P [/ math] que satisfacen la ecuación para [math] C [/ math]? ¿Cuántos de esos puntos hay?
Luego, usa eso para encontrar los puntos que [math] Q [/ math] debe tener en términos de un parámetro diferente (por ejemplo, [math] b \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math]), y encuentra un relación entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] que satisface las restricciones de distancia horizontal. Si esta relación tiene soluciones enteras, entonces todas [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] que satisfagan la relación le darán todos los pares de puntos que busca.
No soy un experto en curvas elípticas, por lo que mi enfoque aquí es algo contundente, pero puedo determinar fácilmente si existen soluciones o no. Con un poco de pensamiento, creo que puedes averiguar cuántos existen.
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