Llorando
De acuerdo, para las ecuaciones diferenciales ordinarias (lineales), la respuesta es fácil: use un factor integrador. Más específicamente, deje que nuestra ecuación diferencial sea
[matemáticas] y ‘(x) + f (x) y (x) = g (x) [/ matemáticas]
(Las ecuaciones de orden superior se pueden convertir a esta forma usando la reducción de orden).
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Nuestras soluciones se pueden obtener definiendo un factor integrador
[matemáticas] I (x) = \ exp \ left (\ displaystyle \ int f (x) dx \ right) [/ math]
y multiplicando por I (x). Entonces, debido a cómo se construyó nuestro factor, la regla del producto da
[matemáticas] y ‘(x) I (x) + I (x) f (x) y (x) = \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ Big ((y (x) I (x) f ( x) \ Big) = I (x) g (x) [/ math]
Esto se puede resolver fácilmente integrando.
Para ecuaciones diferenciales parciales inseparables, las cosas se ponen mucho, mucho más difíciles. Una cosa que puedes probar es una transformación de Fourier si se adapta a tu aplicación, pero realmente no hay garantía de que incluso esto ayude. No hay buenos enfoques generales para esos.