¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemática] D ^ 2 y – m ^ 2 xy = 0 [/ matemática]?

Answer 1

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial D ^ 2 y – m ^ 2 [matemáticas] xy [/ matemáticas] = 0?

Supongo que esta ecuación está destinada a transmitir [matemática] y ” – m ^ 2xy = 0 [/ matemática], o equivalente, [matemática] y ” = m ^ 2xy [/ matemática]; es decir, D es el operador diferencial [math] \ frac {d} {dx} [/ math]. En ese caso, este es un DE lineal de segundo orden.

Si suponemos que [math] y (x) [/ math] puede escribirse como una serie de potencia [math] y = \ sum_ {n \ ge 0} \ frac {a_n} {n!} X ^ n [/ math ], luego

[matemáticas] y ” = a_2 + a_3x + \ frac {1} {2} a_4x ^ 2 + \ frac {1} {6} a_5x ^ 3 + \ cdots = m ^ 2 (a_0x + a_1x ^ 2 + [/ math ] [matemáticas] \ frac {1} {2} a_2x ^ 3 + \ frac {1} {6} a_3x ^ 4 + \ cdots) [/ matemáticas]

Al igualar los coeficientes, vemos que [math] a_0 [/ math] y [math] a_1 [/ math] son ​​constantes arbitrarias, y

• [matemática] a_2 = 0, \ [/ matemática] [matemática] a_3 = m ^ 2a_0, \ [/ matemática] [matemática] a_4 = 2m ^ 2a_1, [/ matemática]
• [matemáticas] a_5 = 3m ^ 2a_2 = 0, \ a_6 = 4m ^ 2a_3 = 4m ^ 4a_0, \ a_7 = 5m ^ 2a_4 = 10m ^ 4a_1, [/ matemáticas]
• [matemáticas] a_8 = 6m ^ 2a_5 = 0, \ a_9 = 7m ^ 2a_6 = 28m ^ 6a_0, \ a_ {10} = 8m ^ 2a_7 = 80m ^ 6a_1, [/ matemáticas]
• etc.

Es decir, para [math] n \ ge1 [/ math]:

• [matemáticas] a_ {3n-1} = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] a_ {3n} = a_0 m ^ {2n} (3n-2) !!! [/ matemáticas] (eso es un factorial triple)
• [matemáticas] a_ {3n + 1} = a_1 m ^ {2n} (3n-1) !!! [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] y = \ displaystyle a_0 \ left (1+ \ sum_ {n \ ge 1} \ frac {m ^ {2n} (3n-2) !!!} {(3n)!} x ^ {3n} \ derecha) + a_1x \ izquierda (1+ \ sum_ {n \ ge 1} \ frac {m ^ {2n} (3n-1) !!!} {(3n + 1)!} x ^ {3n} \ derecha) [/matemáticas]

No veo de inmediato una expresión de forma cerrada para estas series, pero podría estar perdiendo algo obvio.

Answer 2

La ecuación diferencial general de Airy viene dada por:

[matemáticas] D ^ 2y \ pm m ^ 2 xy = 0 [/ matemáticas]

o equivalente

[matemáticas] y ” \ pm m ^ 2 xy = 0 [/ matemáticas]

La ecuación diferencial en la pregunta es una forma de la ecuación diferencial de Airy con el signo menos que precede a [math] m ^ 2 [/ math].

Esta ecuación diferencial se puede resolver utilizando una expansión de la serie de potencias de la forma

[matemáticas] \ displaystyle y = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x_n [/ math]

Para obtener más información sobre la solución de la serie de potencias de la ecuación de Airy, consulte el siguiente enlace:

Soluciones en serie: la ecuación de Airy

Usando un CAS como Mathematica y escribiendo:

DSolve [y ” [x] – m ^ 2 xy [x] == 0, y [x], x]

La solución a la ecuación diferencial de Airy dada se expresa como:

[matemáticas] \ large \ color {rojo} {y (x) = c_1 Ai \ left (\ sqrt [3] {m ^ 2} x \ right) + c_2 Bi \ left (\ sqrt [3] {m ^ 2 } x \ right)} [/ math]

En la solución anterior, [math] Ai (x) [/ math] es la función Airy del primer tipo, y [math] Bi (x) [/ math] es la función Airy del segundo tipo.

La solución a la ecuación diferencial de Airy dada también se puede expresar como:

[matemáticas] \ displaystyle y (x) = \ frac {1} {3} \ sqrt {x} \ left (k_1 I _ {- \ frac {1} {3}} \ left (\ frac {2} {3} mx ^ {3/2} \ right) – k_2 I _ {\ frac {1} {3}} \ left (\ frac {2} {3} mx ^ {3/2} \ right) \ right) [/ math ]

donde [math] I _ {\ eta} (x) [/ math] es la función Bessel modificada del primer tipo:

[matemáticas] {\ displaystyle I _ {\ eta} (x) = i ^ {- \ eta} J _ {\ eta} (ix) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m! \, \ Gamma (m + \ eta +1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + \ eta}} [/ math]

Escribiendo el código de Mathematica:

Trazar [Evaluar [Tabla [c AiryAi [(m ^ 2) ^ (1/3) x] + d AiryBi [(m ^ 2) ^ (1/3) x],
{c, -2, 2}, {d, -2, 2}, {m, -2, 2}]], {x, -5, 19}, Tamaño de imagen -> Grande,
PlotRange -> {10 ^ 13, -10 ^ 13}]

da la representación gráfica de las soluciones a la ecuación diferencial [matemáticas] \ displaystyle c \ times Ai \ left (\ sqrt [3] {m ^ 2} x \ right) + d \ times Bi \ left (\ sqrt [3] {m ^ 2} x \ right) [/ math] para [math] c [/ math], [math] d [/ math] y [math] m [/ math] entre [math] -2 [/ math ] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] (haga clic en la imagen a continuación para ampliarla):

En el gráfico anterior, las gráficas de función sobre el eje x [matemático] [/ matemático] corresponden a los valores positivos de [matemático] c [/ matemático], [matemático] d [/ matemático] y [matemático] m [ / math], y las gráficas debajo del eje [math] x [/ math] corresponden a sus valores negativos.

Para obtener más detalles, consulte los siguientes enlaces relevantes:

Función Airy – Wikipedia

Ecuación diferencial aireada

Funciones Airy – de Wolfram MathWorld

Función de Bessel – Wikipedia

Función de Bessel modificada del primer tipo

Answer 3

variable separada, y ”/ y = m ^ 2 x,

integrar dos veces para la solución.

o ingrese y ” = m ^ 2 * x * y a http://www.mathhandbook.com , haga clic en el botón dsolve para la solución, haga clic en el botón odetest para probar la solución

Answer 4

[matemáticas] y \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} -m ^ 2 xy = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = m ^ 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {m ^ 2x ^ 2} {2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ dfrac {m ^ 2x ^ 3} {6} + Cx + K [/ matemáticas]

Si por [matemática] D ^ 2 [/ matemática] te refieres al operador diferencial de segundo orden, creo que esta debería ser la respuesta.

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En caso de que la ecuación sea realmente

[matemáticas] y ” + m ^ 2xy = 0 [/ matemáticas]

Considerando la solución de la serie de potencia

[matemáticas] y = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nx ^ n [/ matemáticas]

[matemática] \ implica y ‘= \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_n x ^ {n-1} [/ matemática]

[matemática] \ implica y ” = \ displaystyle \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} [/ math]

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} + m ^ 2 \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nx ^ {n + 1} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m ^ 2a_0x + m ^ 2a_1x ^ 2 + \ displaystyle \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} + \ sum_ {n = 2 } ^ {\ infty} m ^ 2a_nx ^ {n + 1} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica m ^ 2a_0x + m ^ 2a_1x ^ 2 + \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) (n + 2) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 3} ^ {\ infty} m ^ 2a_ {n-1} x ^ n = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica m ^ 2a_0x + m ^ 2a_1x ^ 2 + 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 + \ displaystyle \ sum_ {n = 3} ^ {\ infty} (n + 1) (n + 2) a_ {n +2} x ^ n + \ sum_ {n = 3} ^ {\ infty} m ^ 2a_ {n-1} x ^ n = 0 [/ math]