¿Cuál es la solución para esta ecuación diferencial [matemáticas] (- y ^ 3) dx + (xy ^ 2 -x ^ 2) dy = 0 [/ matemáticas] ?
Con [matemática] M (x, y) = – y ^ 3 [/ matemática] y [matemática] N (x, y) = xy ^ 2-x ^ 2 [/ matemática], podemos ver que esto no es un ecuación exacta, porque [matemática] \ frac {\ parcial M} {\ parcial y} = M_y = -3y ^ 2 [/ matemática] mientras [matemática] N_x = y ^ 2-2x [/ matemática]. Sin embargo, debido a que [matemáticas] M [/ matemáticas] y [matemáticas] N [/ matemáticas] son polinomios en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], podríamos sospechar que podemos encontrar un factor integrador de la forma [math] \ mu (x, y) = x ^ my ^ n [/ math], y de hecho esto es posible:
- [matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left [x ^ my ^ n M (x, y) \ right] = \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left [-x ^ my ^ {n + 3} \ right] = – (n + 3) x ^ my ^ {n + 2} [/ math]
- [matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left [x ^ my ^ n N (x, y) \ right] = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left [x ^ {m +1} y ^ {n + 2} -x ^ {m + 2} y ^ n \ right] = (m + 1) x ^ my ^ {n + 2} – (m + 2) x ^ {m + 1} y ^ n [/ matemáticas]
Para que estas derivadas parciales sean iguales, necesitamos:
- [matemáticas] – (n + 3) x ^ my ^ {n + 2} = (m + 1) x ^ my ^ {n + 2} – (m + 2) x ^ {m + 1} y ^ n [ /matemáticas]
que solo puede suceder si ambos
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- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemática] D ^ 2 y – m ^ 2 xy = 0 [/ matemática]?
- [matemática] -n-3 = m + 1 [/ matemática] y [matemática] m + 2 = 0 [/ matemática].
Por lo tanto, [matemática] m = -2 [/ matemática] y [matemática] n = -2 [/ matemática]. entonces el DE resultante (después de multiplicar por el factor integrante [matemática] x ^ {- 2} y ^ {- 2} [/ matemática]) es [matemática] -yx ^ {- 2} dx + (x ^ {- 1 } -y ^ {- 2}) dy = 0 [/ math]. Se puede confirmar fácilmente que esto es exacto, y la solución es [matemática] F (x, y) = C [/ matemática], donde encontramos [matemática] F [/ matemática] utilizando los métodos habituales de libros de texto para resolver DE exactos :
- [matemática] \ frac {\ parcial F} {\ parcial x} = – yx ^ {- 2} [/ matemática], entonces [matemática] F (x, y) = yx ^ {- 1} + g (y) [/matemáticas]
- Por lo tanto, [math] \ frac {\ partial F} {\ partial y} = x ^ {- 1} -g ‘(y) [/ math], que debe ser igual a [math] x ^ {- 1} -y ^ {-2} [/ matemáticas].
- Por lo tanto, [matemáticas] g ‘(y) = – y ^ {- 2} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] g (y) = y ^ {- 1} [/ matemáticas].
En conclusión, las soluciones son
- [matemática] yx ^ {- 1} + y ^ {- 1} = C \ \ implica [/ matemática] [matemática] y ^ 2-Cxy + x = 0 \ \ implica y = \ dfrac {Cx \ pm \ sqrt {C ^ 2x ^ 2-4x}} {2} [/ matemáticas],
para constante arbitraria [matemáticas] C [/ matemáticas]. Si reemplazamos [matemática] C [/ matemática] con [matemática] C_0 = C / 2 [/ matemática], esto puede escribirse más claramente como [matemática] y = C_0x \ pm \ sqrt {C_0 ^ 2x ^ 2-x }[/matemáticas].