¿Es posible resolver todas las ecuaciones diferenciales en este mundo?

Answer 1

Estaba sentado en una conferencia sobre fusión nuclear controlada. Era muy matemático y apenas podía seguir al profesor. Luego llegó a un punto en el que la ecuación parecía tener seis términos, y dijo: “Así que ya ves, lo hemos reducido a la forma de Liputitian, ¡y así está resuelto!”. No tenía idea de lo que quería decir, pero Mientras miraba alrededor de la habitación, vi a varias personas asentir; algunas sonrisas como si acabara de hacer algo brillante. Continuó escribiendo la forma general de la solución (en términos de funciones de las que nunca había oído hablar), y finalmente me di por vencido y me fui.

Más tarde esa tarde, le pregunté a Rip Perkins, uno de los físicos que había estado en la habitación, y que había asentido, sobre la forma de Liputitian. Le dije que nunca había oído hablar de eso. Su respuesta, lo mejor que puedo recordar, fue esta: “Por supuesto que nunca has oído hablar de eso. No eres un matemático aplicado. Hay solo unas pocas ecuaciones diferenciales que los matemáticos y los físicos podemos resolver, por lo que es realmente un gran problema cuando se resuelve una nueva. La ecuación de Liputitian se resolvió el año pasado, y fue una gran noticia en nuestra comunidad. Ya puedes ver cómo ayuda. Pero no esperaría que nadie, ni siquiera usted, que no pasa tiempo completo en ecuaciones diferenciales lo supiera ”.

Desafortunadamente, en realidad he olvidado el nombre de la ecuación que se resolvió, así que inventé un nombre: Liputitian. No encontrará ninguna de estas ecuaciones diferenciales en Wikipedia. Pero este incidente tuvo lugar hace unos 30 años, y tal vez algún matemático aplicado pueda decirme a qué se refería Rip.

NOTA AGREGADA: El comentarista Preyas Shah sugirió que podría estar recordando los desarrollos en la forma de Lyapunov que tuvieron lugar en 1977. De hecho, asistí a reuniones con Rip Perkins durante varias décadas, incluidos los años posteriores a 1977, ¡así que podría ser correcto! ¡Entonces Liputitian era mi Lyapunov mal recordado! Desafortunadamente, Rip falleció hace unos años, así que no puedo preguntarle. Gracias Preyas!

¡No es sorprendente Quora!

Answer 2

Como otros han mencionado, depende de lo que quiere decir con “resolver”. Si significa poder encontrar una fórmula en términos de “funciones elementales”, entonces olvídalo. Un resultado matemático altamente no trivial (anticipado por Gauss) dice que la ecuación diferencial [matemática] f ‘(x) = exp (-x ^ 2) [/ matemática] no tiene solución [matemática] f (x) [/ matemática] expresable en términos de funciones elementales. Sin embargo, esta ecuación tiene soluciones y, una de ellas, llamada función de error, desempeña un papel clave en la teoría de la probabilidad y la física estadística. Además, uno puede encontrar aproximaciones precisas de esta función de error.

Entonces, es muy importante lo que quiere decir con la solución de una ecuación diferencial. Hace más de un siglo, B. Riemann propuso un método para resolver la ecuación de Poisson (importante, por ejemplo, en electrostática). Los métodos de Riemann se inspiraron en la física. Su técnica se hizo conocida como el principio de Dirichlet. Weierstrass esencialmente demolió el enfoque de Riemann mostrando que, en algunos casos, la “solución” encontrada usando este principio no puede ser una solución ya que no es dos veces un requisito vital si uno está interesado en ecuaciones diferenciales de segundo orden. David Hilbert rehabilitó este enfoque diciendo que necesitamos definir adecuadamente el concepto de solución. La teoría de las funciones generalizadas concebida por Heaviside (ingeniero y físico) dio el contexto preciso para el comentario de Hilbert. Estas funciones generalizadas fueron misteriosas por un tiempo y difíciles de tragar para un matemático (piense cuán extraña es la función de Dirac). Dos décadas después del descubrimiento de Heaviside, Laurent Schwartz “explicó” estas funciones generalizadas y se hicieron kosher en el Universo de los matemáticos.

Entonces Hans Lewy produjo un ejemplo de ecuación diferencial (parcial) que no tiene solución, sin importar cuán general sea el concepto de solución. (Resulta que la geometría juega un papel en esta misteriosa ecuación).

Para empeorar las cosas, para algunas ecuaciones que podemos probar matemáticamente que tienen soluciones, todavía no sabemos cómo aproximarlas. Afortunadamente, muchas de estas soluciones son “inestables”, lo que significa que sería difícil observarlas en el mundo real.

Answer 3

¡Solo una PDE (ecuación diferencial parcial) es suficiente para defender mi caso!

¡Te presento las ecuaciones de Navier-Stokes (NSE) !

Los NSE son PDE que describen el comportamiento de un fluido en movimiento, derivado de la Segunda Ley del Movimiento de Newton. En coordenadas polares cilíndricas, se ven así:

No existe una solución general para las ecuaciones de Navier-Stokes.

Siempre “simplificamos” el análisis del sistema mediante “suposiciones” convenientes , de lo contrario , estas ecuaciones son imposibles de resolver.

Sin embargo, los lenguajes de programación basados ​​en la computación moderna como Matlab, Aspen, ANSYS, Fluent y COMSOLE realizan esfuerzos estelares para resolver, no sin importantes “suposiciones simplificadoras”.

¡Lo siento compañero! ¡Supongo que no somos tan inteligentes después de todo!

Para aquellos interesados: ecuaciones de Navier-Stokes

Answer 4

Depende de lo que quieras decir con “resolver”, supongo, pero para la mayoría de las interpretaciones de esa palabra, casi no se pueden resolver ecuaciones diferenciales. Los que se pueden expresar en términos de algunas funciones elementales que conocemos son un subconjunto de todas las posibilidades, por ejemplo.

Eso no quiere decir que no podamos obtener información sobre la existencia y la unicidad de las soluciones. Por ejemplo, es bien sabido que las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden siempre tienen soluciones únicas para cualquier valor inicial (suponiendo que la ecuación diferencial se defina en términos de funciones “agradables”; el teorema de Picard-Lindelöf es el resultado generalmente citado) . Pero para ecuaciones diferenciales de orden superior, o para ecuaciones diferenciales parciales, esto no está garantizado y puede ser altamente no trivial de probar. Por ejemplo, todavía se desconoce si las ecuaciones de Navier-Stokes (que describen el movimiento fluido) siempre tienen soluciones; de hecho, hay un premio de $ 1,000,000 para quien lo demuestre o proporcione un contraejemplo (vea la existencia y la suavidad de Navier – Stokes).

Tampoco quiere decir que no podamos utilizar métodos numéricos para aproximar soluciones y obtener información sobre la estabilidad y el comportamiento a largo plazo de las soluciones. El método de Euler es la técnica de aproximación clásica que se enseña a los estudiantes de cálculo de primer / segundo año, pero hay muchos otros enfoques más sofisticados.

Answer 5

En realidad, bastante contrario a la creencia popular:

¡Ni siquiera puedes resolver una ecuación diferencial del mundo real por completo!

Las palabras finales de mi profesor de Física antes de su último día después de enseñar 40 años de física del segundo semestre en electricidad y magnetismo.

“Escucha, no puedo resolver una ecuación diferencial …”

“¡Nadie puede resolver una ecuación diferencial! … “

Lo que quiso decir fue lo siguiente. Lo que estudiamos en una clase de ecuaciones diferenciales de la universidad y en física e ingeniería son problemas que son bastante artificiales y tienen soluciones fáciles. Están formulados para que se puedan resolver fácilmente, en esencia son hasta cierto punto falsos problemas del mundo no real. Las ecuaciones diferenciales del mundo real son mucho más difíciles de resolver. Depende de lo que quieras decir al resolver una ecuación diferencial. ¿Está satisfecho con ‘ una ‘ solución única porque la mayoría de las ecuaciones diferenciales tienen muchas soluciones posibles? Si quiere decir resolver todas las soluciones posibles para una ecuación diferencial, entonces la respuesta es no. Además, algunas ecuaciones diferenciales no tienen soluciones en términos de funciones elementales o trascendentales y todo lo que puede hacer, en el mejor de los casos, es una “expansión desagradable de la serie Taylor”, como dijo una vez mi profesor de matemáticas.

Answer 6

Como se ha señalado, depende de lo que se considera “a resolver”. A veces sucede que las soluciones de alguna ecuación diferencial ordinaria no se pueden expresar usando funciones elementales, por ejemplo:

[matemáticas] x ^ 2 \ frac {\ mbox {d} ^ 2y} {\ mbox {d} x ^ 2} + x \ frac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} + x ^ 2 y = 0 [/ matemáticas]

con la condición inicial [matemática] y (0) = 1 [/ matemática]. Aún así, podemos estudiar las propiedades analíticas de tales funciones (aquí: [matemáticas] J_0 (x) [/ matemáticas], función de Bessel del primer tipo ). En tal situación, definimos una nueva función (o familia de funciones) como una solución de alguna EDO e intentamos encontrar relaciones con las otras funciones, ya conocidas, (posiblemente no también elementales).

A veces, es conveniente encontrar una forma integral / serie de Taylor de tales funciones que proporcione, por ejemplo, un método para evaluar valores numéricos dados con una aproximación. Si no hay una fórmula conocida para una solución, es bueno estimar la función desde arriba / abajo y conocer el comportamiento asintótico (incluida la tasa de crecimiento) y para algunos problemas es más importante que encontrar una forma cerrada.

Si todos los métodos no pueden determinar nada acerca de la solución, tal vez todavía no se haya encontrado ningún método. Pero en la mayoría de los casos ocurre que la solución de alguna ecuación diferencial simplemente no puede expresarse en términos de funciones conocidas (pero la prueba de imposibilidad puede ser muy difícil de obtener o incluso más allá del alcance; en algunos casos es posible verificar si La función es expresable a través de funciones elementales, véase el teorema de Liouville) ya que algunos números no pueden expresarse en términos de constantes conocidas de una manera no trivial.

Answer 7

Para físicos y matemáticos: no. Para los ingenieros, principalmente sí, más o menos. La diferencia es que los ingenieros aceptan fácilmente la aproximación, y las soluciones solo necesitan ser tan precisas como lo requiera la aplicación en cuestión.

Entonces, cuando los ingenieros obtienen ecuaciones y soluciones, descartamos todos los términos que consideramos “insignificantes”, aunque a menudo no podemos cuantificar lo “insignificante”.

Un buen ejemplo de esto es la desviación de una viga, que depende de la curvatura de la viga bajo un momento flector. La ecuación exacta es en realidad bastante compleja, por lo que descartamos algunos términos y decimos que la tangente del ángulo es casi la misma que el seno, y terminamos con una ecuación más simple que tiene un error inherente, pero ese error es pequeño para pequeñas deformaciones.

Por qué llamamos a la ingeniería “ciencias prácticas (y matemáticas)”.

Answer 8

La respuesta proporcionada por Senia Sheydvasser es precisa. Como escribí en el prefacio de la segunda edición de mi libro, Una introducción moderna a las ecuaciones diferenciales (Academic Press): “… este texto presenta una introducción sólida pero muy accesible a las ecuaciones diferenciales, desarrollando los conceptos desde una perspectiva dinámica de sistemas y empleando tecnología para tratar temas de manera gráfica, numérica y analítica. En particular, el libro reconoce que la mayoría de las ecuaciones diferenciales no pueden resolverse en forma cerrada y hace un uso extensivo de métodos cualitativos y numéricos para analizar soluciones “.

Answer 9

Tal vez una pregunta tonta, pero ¿qué significa realmente resolver una ecuación diferencial y de qué sirve esa solución?

Quiero decir … un conjunto de ecuaciones diferenciales generalmente representa un modelo del comportamiento de un sistema. Para fines de predicción y para fines de cálculo, los métodos numéricos son suficientes para hacer cosas “útiles” (por ejemplo, ejecutar una simulación, determinar un comportamiento).

¿Qué valor adicional proporciona una solución de forma cerrada?

Answer 10

No. La gran mayoría de las ecuaciones diferenciales “en el mundo” (leí que para significar ecuaciones diferenciales podemos componer para razonar sobre cualquier cosa, pero debo advertir que esto implica integridad, lo que, por Godel, significa que somos incoherentes) no lineal No todas las ecuaciones no lineales pueden reducirse a una forma que tenga solución. Esto naturalmente significa que hay ecuaciones que podemos formular, pero no podemos resolver o no sabemos que podemos o no podemos resolver, al menos analíticamente. Entonces lo aproximamos o usamos métodos numéricos para llegar a una solución. Las ecuaciones diferenciales de orden superior no lineales a menudo usan diagramas de fase para identificar equilibrios inestables / estables.

Esto encaja perfectamente con el Teorema de incompletitud de Godel, una vez que nos dirigimos hacia “el mundo” como un conjunto infinito de problemas, no podemos ser consistentes en la forma en que se resuelven o, más bien, de una solución que encontramos es verdadera en todos los casos . Es un problema metamatemático.

Para formalizar el proceso. Lo primero que debes hacer es desarrollar un teorema de existencia para ellos. Para cualquier ecuación diferencial, ¿existe una solución? No estamos tan preocupados por la segunda parte del dúo habitual, que es “¿es la solución única?”

Answer 11

Suponiendo que menciona la solución de forma cerrada diciendo “resolver”, se puede decir que la respuesta es “no necesariamente el caso”
Con el advenimiento del teorema de Cauchy-Kowalevksi (teorema de Cauchy-Kowalevski – Wikipedia) se han realizado esfuerzos para llegar a un método “universal” para resolver todas las ecuaciones diferenciales. Pero todos esos intentos se volvieron inútiles cuando Hans Lewy, en su célebre artículo en el año 1957, presentó un ejemplo de una ecuación diferencial parcial lineal suave sin solución. (Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial lineal suave sin solución)

Answer 12

Dejando de lado los detalles, como lo que se entiende por resuelto, creo que podemos demostrar fácilmente que esto no se puede hacer, sin usar las matemáticas, solo la lógica.

Considere el conjunto de ecuaciones diferenciales resueltas. Ese conjunto constituye una ecuación diferencial por derecho propio, llamada ecuación diferencial de matriz. Al resolver eso, creamos un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales resueltas, y así creamos una nueva ecuación diferencial de matriz para resolver.

Por lo tanto, el conjunto de todas las ecuaciones diferenciales nunca se puede resolver.

Que es la paradoja de Russell, en otra forma.

Answer 13

No. No solo las ecuaciones diferenciales, incluso muchas ecuaciones algebraicas de “aspecto simple” no pueden “resolverse” en términos de funciones elementales. Esto está relacionado con la base de la criptografía actual.

Teoría de Galois – Wikipedia

“Uno de los grandes triunfos de la teoría de Galois fue la prueba de que por cada n > 4, existen polinomios de grado n que los radicales no pueden resolver: el teorema de Abel-Ruffini”.

Answer 14

Aunque estoy de acuerdo con las otras respuestas, pensé que estaría en desacuerdo o al menos daría un punto de vista diferente.

Mi visión de las matemáticas es que cuando no podemos encontrar una solución a un problema en los términos que nos gustan, inventamos soluciones, o al menos nombres para ellas.

Uno puede tomar el desarrollo de todos los números que no sean los números naturales como ejemplos de esto;)

Entonces, sucede que algunas ecuaciones tienen soluciones porque les damos nombres: [matemática] \ pi [/ matemática], por ejemplo, es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo (sé que también hay muchas otras cosas).

Las proporciones de los lados de los triángulos de ángulo recto también reciben nombres y podría continuar.

Las ecuaciones diferenciales que surgieron en muchos lugares recibieron el privilegio de soluciones con nombre. Las funciones Bessel, Legendre, Associated Legendre y Hankel son solo algunos ejemplos.

¡Podríamos, por supuesto, inventar una forma de traducir cualquier ecuación diferencial en una palabra y darle un nombre a sus soluciones! Entonces, cada ecuación diferencial tendría una solución, pero quizás haya poca ventaja de hacerlo;)

Answer 15

La respuesta simple es no.

Algunos conjuntos pequeños de DE tienen una solución analítica en casos muy simples. La mayoría no lo hace.

Sin embargo, a menudo se pueden encontrar soluciones numéricas y aproximaciones.

Estudié matemática aplicada a mediados de los 90.

Answer 16

Creo que estás pensando (cómo es eso para hablar dos veces) de tener una forma cerrada de solución. Con frecuencia, las Q de diferencia implican soluciones en serie. El primer paso que debe hacerse con una serie de soluciones es demostrar que converge. La convergencia es FRECUENTEMENTE difícil. Por lo tanto, muchas Q de diferencias no se pueden resolver.

Answer 17

Otra forma de verlo, como está redactado, es no, hay un número infinito de ellos.