Cómo encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ frac {3 ^ {x ^ 2} + x} {2 ^ {x ^ 2}} [/ matemáticas]

Answer 1

¿Cómo encuentro [math] \ dfrac {d} {dx} \ dfrac {3 ^ {x ^ 2} + x} {2 ^ {x ^ 2}} [/ math] ?

Todas las respuestas hasta ahora han utilizado la regla del cociente y la regla de la cadena. Cuando sea posible, insto a los estudiantes a usar la regla del producto en lugar de la regla del cociente, ya que es menos probable que introduzca errores de signos tontos.

Tenga en cuenta que [math] \ dfrac {3 ^ {x ^ 2} + x} {2 ^ {x ^ 2}} = 1.5 ^ {x ^ 2} + x2 ^ {- x ^ 2} [/ math]. Haciendo uso de la regla general (señalada por otros) que [matemática] \ frac {d} {dx} [a ^ {x ^ 2}] = 2x \ ln (a) a ^ {x ^ 2} [/ matemática] , y el resultado relacionado [matemáticas] \ frac {d} {dx} [a ^ {- x ^ 2}] = – 2x \ ln (a) a ^ {- x ^ 2} [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [1.5 ^ {x ^ 2} + x2 ^ {- x ^ 2} \ right] = 2x \ ln (1.5) \ cdot 1.5 ^ {x ^ 2} + 2 ^ {- x ^ 2} -2x ^ 2 \ ln (2) \ cdot 2 ^ {- x ^ 2} [/ matemáticas].

Answer 2

Debe tener cuidado con las derivadas de exponenciales. La derivada de [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] a ^ xlna [/ matemáticas]

Use la regla del cociente y la regla de la cadena.

Answer 3

[matemáticas] f (x) [/ matemáticas] tiene la forma

[matemáticas] f (x) = \ frac {f_1 (x) + f_2 (x)} {f_3 (x)} = \ frac {u} {v} [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] f_1 (x) = 3 ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] f_2 (x) = x [/ matemáticas]

[matemáticas] u = f_1 (x) + f_2 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] v = f_3 (x) = 2 ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]

Comience considerando el formulario

[matemáticas] h (x) = a ^ {w (x)} [/ matemáticas]

donde [math] a [/ math] es una constante positiva.

[math] h [/ math] se puede volver a expresar como

[matemáticas] h (x) = e ^ {w (x) \ log {a}} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] h ‘(x) = e ^ {w (x) log (a)} w’ (a) log (a) = a ^ {w (x)} w ‘(x) \ log {a} [ /matemáticas]

Usando este resultado tenemos

[matemáticas] f_1 ′ (x) = 3 ^ {x ^ 2} (2x) \ log {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] f_3 ′ (x) = 2 ^ {x ^ 2} (2x) \ log {2} [/ matemáticas]

y por supuesto

[matemáticas] f_2 ′ (x) = 1 [/ matemáticas]

La regla del cociente dice que

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {vu’-uv’} {v ^ 2} = \ frac {f_3 (x) (f_1 ′ (x) + f_2 ′ (x)) – (f_1 (x) + f_2 (x)) f_3 ′ (x))} {f_3 (x) ^ 2} [/ matemáticas]

Estoy seguro de que puedes tomarlo desde allí.

Answer 4

Deje [math] y = 3 ^ {x ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln y = x ^ 2 \ ln 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {d} {dx} [x ^ 2 \ ln 3] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = 2x (3 ^ {x ^ 2}) \ ln 3 [/ matemáticas]

---

Del mismo modo podemos escribir

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} [2 ^ {x ^ 2}] = 2x (2 ^ {x ^ 2}) \ ln 2 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [\ dfrac {3 ^ {x ^ 2} + x} {2 ^ {x ^ 2}} \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {2 ^ {x ^ 2} (2x (3 ^ {x ^ 2}) \ ln 3 + 1) – (3 ^ {x ^ 2} + x) (2x (2 ^ {x ^ 2}) \ ln 2)} {2 ^ {2x ^ 2}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(2x (3 ^ {x ^ 2}) \ ln 3 + 1) – (3 ^ {x ^ 2} + x) (2x \ ln 2)} {2 ^ {x ^ 2 }}[/matemáticas]

Answer 5

Answer 6

Answer 7

Answer 8

La clave es reescribir f (x) en un producto y no una fracción. Si lo hace, puede hacer uso de la regla del producto para encontrar la primera derivación.

Answer 9