¿Por qué mi respuesta al problema de diferenciación implícita [matemáticas] \ dfrac {x} {y + 1} = x ^ 2 + 3y [/ matemáticas], cuando reorganizo la ecuación, es diferente de la que no lo hago?

Answer 1

Una función implícita es cuando no podemos escribir una expresión explícita para una de las variables en términos de la otra. La belleza de la función radica en esta característica específica.

[matemáticas] y = 3x ^ 2 + 2 [/ matemáticas] es una función explícita. [math] \ frac {x} {y + 1} = x ^ 2 + 3y [/ math] es, por lo tanto, una función implícita.

Al llegar a este problema, descubrí que ambas derivadas, como se explica aquí, ¡son correctas! ¡Entonces la pregunta es válida y tenemos que explicar y ver lo invisible ….. !! 🙂

Tomemos la derivada sin ningún reordenamiento (en el sentido dado en el problema). Permítanme llamarlo [matemáticas] y_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 = \ frac {(y + 1) (1-2xy-2x)} {3y ^ 2 + 6y + x + 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(y + 1) (1-2xy-2x)} {3 {(y + 1)} ^ 2 + x} [/ matemáticas],

mire el denominador, hay una sola [matemática] x [/ matemática], reemplacemos esto usando la ecuación original, es decir, de [matemática] \ frac {x} {y + 1} = x ^ 2 + 3y [ / math], obtenemos que [math] x = (y + 1) (x ^ 2 + 3y), [/ math]

[matemáticas] = \ frac {(y + 1) (1-2xy-2x)} {3 {(y + 1)} ^ 2+ (y + 1) (x ^ 2 + 3y)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1-2xy-2x} {3 (y + 1) + (x ^ 2 + 3y)} [/ matemáticas], y finalmente

[math] = \ frac {1-2xy-2x} {x ^ 2 + 6y + 3} [/ math], que es lo mismo que la primera expresión, es decir, derivada después del reordenamiento.

PD: Esta es una pregunta que enfrentamos a menudo en un salón de clases. Suele suceder así: dos estudiantes se acercan con expresiones tan serias que defienden su respuesta. Por eso respondí espontáneamente 🙂

Gracias por la pregunta!

Answer 2

La segunda respuesta se puede simplificar para obtener la primera respuesta sustituyendo [math] x = x ^ 2y + 3y ^ 2 + 3y + x ^ 2 [/ math] por [math] x [/ math] en su denominador, que trae a la forma [matemáticas] 6y ^ 2 + x ^ 2y + 9y + x ^ 2 + 3. [/ matemáticas] Observe que [matemáticas] y = -1 [/ matemáticas] es un cero de este polinomio, de modo que [ matemáticas] (y + 1) [/ matemáticas] es un factor. Luego, ya sea por división larga o división sintética, encontrará que factoriza como [matemática] (y + 1) (x ^ 2 + 6y + 3), [/ matemática] permitiéndole cancelar el factor común de [matemática] ( y + 1), [/ math] reduciendo la segunda respuesta a la primera respuesta. Entonces parece que ambas respuestas son correctas.

Answer 3

Trivilally las 2 expresiones no son iguales, en el límite x⟶∞. Pero creo que es mejor que primero derives en la ecuación reorganizada. No entiendo. ¿Estás limpiando x o y? Si no lo hace (tal vez no sea posible) debe derivar en ambos lados de la ecuación, reorganizado o no, entonces la fórmula que da el punto (x, y) de la función es de la forma f (x, y) = g (x, y). Solo escribes un término. ¿Es necesario más datos?