Cómo calcular [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] a partir de [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x ^ 2 + 5x [/ matemáticas] si sé que [matemáticas] x (0) = – 3 [/matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x ^ {2} + 5x \ implica \ frac {dx} {x (x + 5)} = dt \ implica d \ left (\ int \ frac {dx} { x (x + 5)} \ right) = dt \ implica d \ left (\ int \ frac {dx} {x (x + 5)} – t \ right) = 0 \ implica \ int \ frac {dx} { x (x + 5)} – t = C [/ matemática], donde [matemática] C [/ matemática] es una constante. Ahora, [matemáticas] \ frac {1} {x (x + 5)} = \ frac {\ frac {1} {5}} {x} + \ frac {- \ frac {1} {5}} {x +5} [/ math], por el método de fracción parcial. Entonces, tenemos [matemáticas] \ int \ left (\ frac {\ frac {1} {5}} {x} + \ frac {- \ frac {1} {5}} {x + 5} \ right) dx -t = C [/ matemáticas], o [matemáticas] \ frac {1} {5} \ ln x- \ frac {1} {5} \ ln (x + 5) -t = C [/ matemáticas], o [matemática] \ frac {1} {5} \ ln \ left (\ frac {x} {x + 5} \ right) = t + C [/ math], o [math] \ ln \ left (\ frac { x} {x + 5} \ right) = 5t + 5C [/ math], o [math] \ left (\ frac {x} {x + 5} \ right) = e ^ {5t + 5C} [/ math ] Al resolver [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] x = \ frac {5e ^ {5 (t + C)}} {1-e ^ {5 (t + C)}} [/ matemáticas] . Poniendo [matemáticas] k = e ^ {5C} [/ matemáticas], [matemáticas] x = \ frac {5ke ^ {5t}} {1-ke ^ {5t}} [/ matemáticas].

Creo que la condición inicial [matemáticas] x (0) = – 3 [/ matemáticas] es incorrecta, ya que conduce a un valor negativo de k, mientras que k debería ser positivo.

Answer 2

Esa es una ecuación diferencial para la posición unidimensional de un objeto [matemática] x [/ matemática] en función del tiempo [matemática] t [/ matemática].

La solución a esa ecuación se puede encontrar analíticamente utilizando el método de ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, creo que es demasiado desordenado, y preferiría evaluarlo numéricamente usando [math] x (0) [/ math] como condición inicial.

Sin embargo, usando Wolfram Alpha, obtuve la siguiente expresión

[matemáticas] x (t) = \ grande {- \ frac {5e ^ {5c + 5t}} {e ^ {5c + 5t} -1}}. [/ matemáticas]

Luego puede encontrar la constante [matemática] c [/ matemática] sustituyéndola en la condición inicial y resolviéndola. Pregúntame si tienes alguna pregunta sobre mi método.

Answer 3

Integre [math] \ frac {dx} {dt} [/ math] para obtener [math] x (t) = \ frac {1} {3} x ^ 3 + \ frac {5} {2} x ^ 2 + c [/ matemáticas]. Sustituya en [math] t = 3 [/ math] para obtener un valor para [math] c [/ math].

Answer 4

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = x ^ 2 + 5x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {x ^ 2 + 5x} = \ int dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {x (x + 5)} = \ int dt [/ matemáticas]

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Dejar

[matemáticas] \ dfrac {1} {x (x + 5)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica A (x + 5) + Bx = 1 [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5A = 1 \ implica A = \ dfrac {1} {5} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] x = -5 [/ matemáticas]

[matemáticas] -5B = 1 \ implica B = – \ dfrac {1} {5} [/ matemáticas]

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Volviendo al problema

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {x (x + 5)} = \ int dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {1} {5x} – \ dfrac {1} {5 (x + 5)} \ right) \, dx = \ int dt [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {5} \ ln \ left | \ dfrac {x} {x + 5} \ right | = t + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x} {x + 5} = e ^ {5t + 5C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x} {x + 5} = Ke ^ {5t} [/ matemáticas] [Tomando [matemáticas] K = e ^ {5C} [/ matemáticas]]

El uso de [matemáticas] x (0) = – 3 [/ matemáticas] da

[matemáticas] K = \ dfrac {-3} {- 3 + 5} = – \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {5C} = – \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas]

y estamos condenados

Para cualquier [matemática] x \ in \ R [/ matemática] tenemos [matemática] e ^ x \ geq 0 [/ matemática]

Por lo tanto, esta ecuación no tiene una solución válida.

Answer 5

Es una ecuación de Bernoulli. Es bastante necesario para un estudiante que aprende oda. Me gustaría escribir la respuesta si es necesario. Pero, realmente necesitas aprender los enfoques para resolverlo. 🙂

Answer 6

separar y luego integrar. O ingrese la ecuación y ‘= y ^ 2 + 5y

en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón dsolve para obtener la solución, haga clic en el botón odetest para probar su solución