Cómo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] \ dfrac {d} {dt} x (t) + 3x (t) = \ sin (2t) [/ matemáticas]

Answer 1

La respuesta de Anirban Ghoshal a ¿Cómo resuelvo esta ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d} {dt} x (t) + 3x (t) = sin (2t) [/ matemáticas]? es correcto. Sin embargo, hay otra forma de llegar allí:

Primero, tomemos la derivada de ambos lados:

[matemáticas] x ” + 3x ‘= 2 \ cos (2t) [/ matemáticas]

De nuevo:

[matemáticas] x ” ‘+ 3x’ ‘= -4 \ sin (2t) [/ matemáticas]

Ahora espera, eso significa que podemos escribir:

[matemáticas] (x ” ‘+ 3x’ ‘) + 4 (x’ + 3x) = -4 \ sin (2t) + 4 \ sin (2t) = 0 [/ matemáticas]

Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea.

Usando la notación de operador, podemos escribir esto como:

[matemática] D ^ 3 x + 3D ^ 2 x + 4Dx + 12x = 0 [/ matemática]

Observando que el operador diferencial [matemático] D [/ matemático] es un operador lineal, podemos escribir esto como:

[matemáticas] (D ^ 3 + 3D ^ 2 + 4D + 12) x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (D + 3) (D ^ 2 + 4) x = 0 [/ matemáticas]

Esto nos da el polinomio característico [matemáticas] (D + 3) (D ^ 2 + 4) [/ matemáticas] con raíces [matemáticas] -3, 2i, -2i [/ matemáticas]. Las soluciones serán de la forma:

[matemáticas] x (t) = \ alpha e ^ {- 3t} + \ beta \ cos (2t) + \ gamma \ sin (2t) [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en nuestra ecuación original, obtenemos:

[matemáticas] x ‘+ 3x = -3 \ alpha e ^ {- 3t} -2 \ beta \ sin (2t) + 2 \ gamma \ cos (2t) + 3 \ alpha e ^ {- 3t} + 3 \ beta \ cos (2t) + 3 \ gamma \ sin (2t) = (2 \ gamma +3 \ beta) \ cos (2t) + (3 \ gamma -2 \ beta) \ sin (2t) [/ matemática]

Sabemos que esto debería ser igual a [math] \ sin (2t) [/ math], por lo que obtenemos:

• [matemáticas] 2 \ gamma + 3 \ beta = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 \ gamma – 2 \ beta = 1 [/ matemáticas]

Esto tiene la solución [math] \ beta = – \ frac {2} {13}, \ gamma = \ frac {3} {13} [/ math].

Obtenemos: [matemáticas] x (t) = \ alpha e ^ {- 3t} – \ frac {2} {13} \ cos (2t) + \ frac {3} {13} \ sin (2t) [/ math ], para cualquier valor del parámetro [math] \ alpha [/ math]. Si tiene una condición límite, puede averiguar qué es [math] \ alpha [/ math].

Verifique la calculadora gráfica Desmos para verificar que esto sea correcto.

Answer 2

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} + 3x = \ sin 2t [/ matemáticas]

Factor integrador:

[matemáticas] \ displaystyle I = e ^ {\ int 3 \, dt} = e ^ {3t} [/ math]

Multiplicando la ecuación diferencial con los rendimientos del factor integrante

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} [xe ^ {3t}] = e ^ {3t} \ sin 2t [/ matemáticas]

---

Deje que [math] u = \ sin 2t \ implica du = 2 \ cos 2t \, dt [/ math]

Y [matemáticas] dv = e ^ {3t} \, dt \ implica v = \ dfrac {1} {3} e ^ {3t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {3t} \ sin 2t \, dt = \ dfrac {1} {3} e ^ {3t} \ sin 2t- \ int \ dfrac {2} {3} e ^ {3t } \ cos 2t \, dt [/ math]

De nuevo, deja

[matemáticas] u = \ cos 2t \ implica du = -2 \ sin 2t \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = \ dfrac {2} {3} e ^ {3t} \, dt \ implica v = \ dfrac {2} {9} e ^ {3t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {3t} \ sin 2t \, dt = \ dfrac {1} {3} e ^ {3t} \ sin 2t- \ dfrac {1} {9} e ^ {3t} \ cos 2t- \ int \ dfrac {4} {9} e ^ {3t} \ sin 2t \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {13} {9} \ int e ^ {3t} \ sin 2t \, dt = \ dfrac {1} {3} e ^ {3t} \ sin 2t- \ dfrac {2} { 9} e ^ {3t} \ cos 2t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {3t} \ sin 2t \, dt = \ dfrac {3} {13} e ^ {3t} \ sin 2t- \ dfrac {2} {13} e ^ {3t} \ cos 2t [/ matemáticas]

---

[matemáticas] xe ^ {3t} = \ dfrac {3} {13} e ^ {3t} \ sin 2t- \ dfrac {2} {13} e ^ {3t} \ cos 2t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {3} {13} \ sin 2t- \ dfrac {2} {13} \ cos 2t + C [/ matemáticas]

Answer 3

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Mira el artículo vinculado sobre cómo resolverlos. Para su caso, elija [matemática] p (t) = 3, [/ matemática] y [matemática] q (t) = \ sin (2t) [/ matemática].

Es algo mecánico para resolver.

Answer 4

Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden. Se puede resolver utilizando el factor de integración y haciendo algunos cálculos para encontrar la respuesta, y se puede resolver con un CAS como Mathematica.

Escribiendo el código:

DSolve[x'[t] + 3 x[t] == Sin[2 t], x[t], t]

produce el resultado o la respuesta:

[matemática] \ grande x (t) = c_ 1 e ^ {- 3 t} + \ frac {1} {13} (3 \ sin (2 t) – 2 \ cos (2 t)) [/ matemática]

La ecuación diferencial dada también se puede resolver con una calculadora científica como The TI 92 Plus o con el TI-Nspire CAS escribiendo el código:

deSolve (x ‘+ 3 * x = sin (2t), t, x)

Answer 5

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, por lo que debe usar un factor integrador.

Answer 6

ingrese la ecuación y ‘+ 3y = sin (2x) en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón dsolve para obtener la solución, haga clic en el botón odetest para probar su solución

Answer 7

(D + 3) x = sin (2t)

[matemáticas] \ subrayado {Función complementaria} [/ matemáticas]

La ecuación auxiliar es m + 3 = 0; m = -3

[matemáticas] x_c = C e ^ {- 3t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ subrayado {Integral particular} [/ matemáticas]

[matemáticas] xp = \ frac {1} {D + 3} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D-3} {(D + 3) (D-3)} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D-3} {(D ^ 2–9)} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D-3} {(- (2) ^ 2–9)} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D-3} {(- (2) ^ 2–9)} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D-3} {(- 13)} \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-1} {13} \ {D (\ sin (2t) \} -3 \ sin (2t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {3 \ sin (2t) -2 \ cos (2t)} {13} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto y = y_c + y_p = Ce ^ {- 3t} + \ frac {3 \ sin (2t) -2 \ cos (2t)} {13} [/ matemáticas]