Cómo encontrar la línea tangente de un círculo

Answer 1

De TechnologyUK

Longitud OP por teorema de Pitágoras: sqrt (coseno (theta) ^ 2 + seno (theta) ^ 2)

Recuerda: SOHCAHTOA

Seno = lado opuesto sobre hipotenusa

Coseno = lado adyacente sobre hipotenusa

Tangente = Opuesto sobre Adyacente.

El seno coseno y la tangente son todas proporciones y son muy muy útiles para calcular longitudes dadas un ángulo, o longitudes de ángulos dados y viceversa.

Al manipular esta ecuación, dada theta, puede encontrar cualquier longitud, incluida la intersección en y para la línea que define PF, o la longitud de la línea que sube y termina donde PF se cruza con y.

ES DECIR. por cos = adyacente / hipotenusa, cos • hyp = adj, o hyp = adj / cos. Es como moverse por las piezas del rompecabezas para obtener lo que quieres.

Además, observe que la línea tangente tiene la pendiente negativa (m) de OP. La línea tangente siempre es perpendicular a OP.

Para la visualización, aquí hay un regalo de Math Is Fun.

Círculo de unidades interactivas

Answer 2

No estoy seguro de qué nivel de matemática buscas en la respuesta, pero con el cálculo, no es terriblemente difícil.

Considere que la forma estándar de un círculo es [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática], donde el círculo está centrado en (0,0) yr es el radio.

Para encontrar la línea tangente en un punto de este círculo, necesitamos encontrar la derivada, [math] \ frac {dy} {dx} [/ math].

Dado que el término y también es cuadrado, se necesitará más que una simple derivada para resolver esto.

En su lugar, utilizaremos el proceso de diferenciación implícita y consideraremos y como una función de x al hacerlo. Ahora vemos:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) = \ frac {d} {dx} \ left (r ^ 2 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ right) + \ frac {d} {dx} \ left (y ^ 2 \ right) = \ frac {d} {dx} \ left ( r ^ 2 \ right) [/ math]

Como r es una constante (el radio), entonces [math] \ frac {d} {dx} r ^ 2 = 0 [/ math], ya que la derivada de cualquier constante es 0.

A continuación, vemos que [math] \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ right) = 2x [/ math] por la regla de poder.

Finalmente, tenemos [math] \ frac {d} {dx} \ left (y ^ 2 \ right) [/ math]. Esto no es igual a [matemática] 2y [/ matemática], porque y no es una variable independiente, es una función de x. Por lo tanto, debemos usar la regla de la cadena al diferenciar.

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (y ^ 2 \ right) = 2y * \ frac {dy} {dx} [/ math]

Ahora, al sustituir en la ecuación anterior, vemos:

[matemáticas] 2x + 2y * \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2y * \ frac {dy} {dx} = -2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ frac {x} {y} [/ matemáticas]

Esto significa que la pendiente instantánea de un círculo en el punto (a, b) es igual a [matemática] – [/ matemática] [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática].

Ahora que tenemos una pendiente en el punto, y el punto en sí mismo, podemos hacer una ecuación usando la forma punto-pendiente de una línea.

[matemáticas] y – b = – \ frac {a} {b} * (x – a) [/ matemáticas]

Esta es la forma general de una línea tangente a un círculo, centrada en (0,0) con radio r, que es tangente en (a, b).

Answer 3

Para encontrar una línea tangente de cualquier círculo, primero encuentre el centro del círculo y el punto tangente

let, el centro del círculo es [matemática] (h, k) [/ matemática] y punto de tangente [matemática] (a, b) [/ matemática]

Entonces la ecuación de línea (línea de radio) que pasa por estos puntos es

[matemáticas] y – k = \ frac {(h – a)} {(k – b)} \ cdot (x – h) [/ matemáticas]

Sabemos que la línea tangente es ortogonal a la línea de radio y la multiplicación de las pendientes de dos líneas ortogonales es igual a -1 [ [matemática] m_1 \ cdot m_2 = -1 [/ matemática] ]

Entonces, la pendiente de la línea tangente es [matemática] – \ frac {k – b} {h- a} [/ matemática]

Entonces la línea tangente es: [matemática] y – k = – \ frac {kb} {h – a} \ cdot (x – h) [/ matemática]

Answer 4

Recientemente escribí Cálculo sin límites, una publicación que hace un cálculo diferencial bastante serio con solo álgebra I nivel matemático. Veamos cómo le va aquí.

Un círculo con centro [matemática] (a, b) [/ matemática] y radio [matemática] c [/ matemática] (estoy guardando [matemática] r [/ matemática] para más adelante) tiene la ecuación

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

Escribamos esto como [matemáticas] f (x, y) = 0 [/ matemáticas], donde

[matemáticas] f (x, y) = (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 – c ^ 2 [/ matemáticas]

Para hacer cálculo sin límites en curvas algebraicas, solo evaluamos [matemática] f (x + r, y + s) [/ matemática] y recopilamos y ordenamos términos, por lo que este es un polinomio en [matemática] x [/ matemática] y [ matemáticas] y [/ matemáticas] escritas en orden de grado creciente. Es más fácil de hacer que describir:

[matemáticas] f (x + r, y + s) = (x + ra) ^ 2 + (y + sb) ^ 2 – c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 + 2x (ra) + (ra) ^ 2 + y ^ 2 + 2y (sb) + (sb) ^ 2 – c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x + r, y + s) = (ra) ^ 2 + (sb) ^ 2 – c ^ 2 \ + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad 2 (ra) x + 2 (sb) y \ + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Si observamos la primera línea, los términos de grado [matemática] 0 [/ matemática] (en [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]), vemos que es solo [matemática] f ( r, s). [/ matemáticas]

Si nos fijamos en el coeficiente de [matemática] x, [/ matemática] [matemática] 2 (ra), [/ matemática] esa es en realidad la derivada parcial [matemática] \ dfrac {\ parcial f} {\ parcial x} [/ matemáticas] en [matemáticas] (x, y) = (r, s) [/ matemáticas] pero los estudiantes de secundaria no necesitan preocuparse por eso. Solo lo menciono para mostrar a las personas que ya tomaron Calc II cómo se desprende de Algebra I.

Ahora expandimos [matemática] f (x, y) [/ matemática] alrededor de [matemática] (r, s). [/ Matemática] Para hacer eso comenzamos con [matemática] f (x + r, y + s) [ / math] y realice la sustitución [math] xr [/ math] por [math] x [/ math] y [math] ys [/ math] por [math] y [/ math]. [math] [/ math] Entonces obtenemos

[matemáticas] f (x, y) = f ((xr) + r, (ys) + s) [/ matemáticas]

[matemáticas] = f (r, s) \ + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad 2 (ra) (xr) + 2 (sb) (ys) \ + [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 [/ matemáticas]

Para obtener las líneas tangentes, todo lo que tenemos que hacer es establecer la suma de los términos a través de grado [matemática] 1 [/ matemática] (lineal en [matemática] xr [/ matemática] y [matemática] ys [/ matemática]) a cero:

[matemáticas] f (r, s) + 2 (ra) (xr) + 2 (sb) (ys) = 0 [/ matemáticas]

Escribamos [math] f [/ math] y simplifiquemos:

[matemáticas] (ra) ^ 2 + (sb) ^ 2 – c ^ 2 + 2 (ra) (xr) + 2 (sb) (ys) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (ra) (xr) + 2 (sb) (ys) = – [(ra) ^ 2 + (sb) ^ 2 – c ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (ra) x + 2 (sb) y = 2r (ra) + 2s (sb) – [(ra) ^ 2 + (sb) ^ 2 – c ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (ra) x + 2 (sb) y = 2r ^ 2-2ar + 2s ^ 2-2bs – (r ^ 2 -2ar + a ^ 2) – (s ^ 2-2bs + b ^ 2) + c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (ra) x + 2 (sb) y = r ^ 2 + s ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2 [/ matemáticas]

Eso es genial. Grafiquemos un par de puntos y veamos si lo hicimos bien.

Tomemos nuestro círculo como [matemáticas] (x-3) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = 5 ^ 2, [/ matemáticas] eso es [matemáticas] a = 3, b = 4, c = 5, [/ matemáticas] y mire [matemáticas] (r, s) = (0,0). [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (-3) x + 2 (-4) y = 0 + 0 + 25 – 9 – 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3x + 4y = 0 [/ matemáticas]

Matemáticas de octavo grado para hacer cálculos en curvas algebraicas.

Si dejamos de ser tan rígidos al poner las cosas a cero, obtenemos una interpretación de un círculo como un paraboloide circular

[matemáticas] z = (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 – c ^ 2 [/ matemáticas]

La expansión que hicimos anteriormente realmente no requería que [math] (r, s) [/ math] estuviera en el círculo. Los términos de primer grado nos dan el plano tangente al paraboloide en [math] (r, s): [/ math]

[matemáticas] z = (ra) ^ 2 + (sb) ^ 2 – c ^ 2 + 2 (ra) (xr) + 2 (sb) (ys) [/ matemáticas]

Para el círculo unitario [matemáticas] a = b = 0, c = 1 [/ matemáticas]. Analicemos el plano tangente en [matemática] (r, s) = (1,1) [/ matemática] un punto no en el círculo unitario, sino en el parabaloide circular cuya sección transversal en [matemática] z = 0 [/ matemáticas] es el círculo unitario que conocemos. No podría ser más fácil: solo establecemos los términos en nuestra expansión a través del grado 1 a [matemáticas] z: [/ matemáticas]

[matemática] z = 1 + 2 (x-1) + 2 (y-1) = -3 + 2x + 2y [/ matemática]

No pude hacer que Alpha los trazara en el mismo gráfico, pero estamos haciendo cálculos en superficies en tres espacios con matemáticas de octavo grado.

Answer 5

Derivar implícitamente

d / dx {x ^ 2 + y (x) ^ 2 = 16}

2x + 2y (x) dy / dx = 0

dy / dx = -x / t

Recuerde que y es una función de x, por lo que se aplica la regla de la cadena. Una vez que se encuentra la pendiente, encuentre la línea tangente con el punto.

Answer 6

Para encontrar una línea tangente a cualquier función, necesita dos cosas: un punto de tangencia y la pendiente de la línea. La pendiente está dada por la derivada de la función. Generalmente con un círculo usará la diferenciación implícita para encontrar la derivada.

Una vez que sepa la pendiente y el punto de tangencia, use la fórmula de la pendiente del punto.