¿Por qué f ‘(g (x)) no es igual a la derivada de f (g (x))?

Answer 1

Varios otros respondedores han dado respuestas de cuál debería ser la derivada. Para ver qué sale mal cuando no considera la fórmula completa para la derivada de la función compuesta, tomemos dos funciones particulares de la siguiente manera:

[matemáticas] f (x) = x ^ a [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = x ^ {1 / a} [/ matemáticas]

donde [math] a [/ math] es un número real positivo.

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle (f \ circ {g}) (x) = f (g (x)) = f (x ^ {1 / a}) = (x ^ {1 / a}) ^ a = x ^ {\ frac {a} {a}} = x [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle (f \ circ {g}) ‘(x) = 1 [/ matemáticas]

para cualquier valor de [math] a [/ math]

Todavía

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = ax ^ {a-1} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(g (x)) = a (x ^ {1 / a}) ^ {a-1} = ax ^ {1–1 / a} [/ math]

Entonces hay un factor faltante. Llámalo [matemáticas] c [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle (f \ circ {g}) ‘(x) = (f \ circ {g})’ (x) c [/ math]

Como sabemos la derivada correcta podemos encontrar [math] c [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle c = \ frac {1} {f ‘(g (x))} = \ frac {1} {a (x ^ {1–1 / a}} = \ frac {1} {a} x ^ {\ frac {1} {a} -1} [/ matemáticas]

El último valor es reconocible como [math] g ‘(x) [/ math].

Answer 2

Estamos considerando la composición de dos funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas], escritas [matemáticas] f \ circ g [/ matemáticas]. El valor de [math] f \ circ g [/ math] en un punto [math] x [/ math], denotado [math] (f \ circ g) (x) [/ math], es [math] f ( g (x)) [/ matemáticas].

La regla de la cadena para derivados dice que la derivada de [math] f \ circ g [/ math] en [math] x [/ math] es

[matemáticas] \ qquad (f \ circ g) ‘(x) = f’ (g (x)) \, g ‘(x). [/ matemáticas]

Su pregunta es: ¿por qué tiene que multiplicar por ese otro término, [matemáticas] g ‘(x) [/ matemáticas]?

Al calcular la composición, la primera etapa es evaluar [matemáticas] g (x) [/ matemáticas]. La derivada, [math] g ‘(x) [/ math], te dice que si tienes un pequeño intervalo sobre [math] x [/ math], entonces [math] g [/ math] lo expande por un factor aproximadamente igual a [matemática] g ‘(x) [/ matemática] a un pequeño intervalo de aproximadamente [matemática] g (x) [/ matemática].

Luego aplique [math] f [/ math]. La derivada, [matemática] f ‘(g (x)) [/ matemática] le dice que si tiene un pequeño intervalo sobre [matemática] g (x) [/ matemática], entonces [matemática] f [/ matemática] se expande ese intervalo por un factor aproximadamente igual a [matemáticas] f ‘(g (x)) [/ matemáticas].

Entonces, un pequeño intervalo de [matemática] x [/ matemática] primero se expande por un factor de [matemática] g ‘(x) [/ matemática] a un pequeño intervalo de [matemática] g (x) [/ matemática], luego que se expande por un factor de [math] f ‘(g (x)) [/ math] a un intervalo de aproximadamente [math] f (g (x)) [/ math]. En las dos etapas, el intervalo original se expande por un factor de [matemáticas] f ‘(g (x)) \, g’ (x) [/ matemáticas].

Answer 3

Dejar

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = 2x [/ matemáticas]

Entonces

[matemática] f ‘(x) = 2x [/ matemática] y [matemática] f’ (g (x)) = 2 (2x) = 4x [/ matemática]

[matemáticas] f (g (x)) = (2x) ^ 2 + 1 = 4x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [f (g (x))] ‘= 8x [/ matemáticas]

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¿Ya entendiste algo? [math] f (g (x)) [/ math] significa tomar [math] f (x) [/ math] y reemplazar todos los valores [math] x [/ math] con [math] g (x) [/ math], porque ahora [math] g (x) [/ math] es el dominio de [math] f (x) [/ math], y no [math] x [/ math] en sí.

Ahora para responder a su pregunta un poco más claramente …

Suponga que [matemáticas] f ‘(g (x)) = [f (g (x))]’ [/ matemáticas]

Entonces, podemos escribir

[matemáticas] \ dfrac {df (g (x))} {dx} = 8x [/ matemáticas]

La integración de ambos lados con respecto a x da …

[matemáticas] \ implica f (g (x)) = 4x ^ 2 + C [/ matemáticas]

y con una condición inicial apropiada, terminaremos con [matemáticas] f (g (x)) = 4x ^ 2 + 1. [/ matemáticas]

Puede ver claramente que esto no es igual a [matemáticas] 4x [/ matemáticas].

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Espero que esto ayude. Gracias por la A2A

Answer 4

[matemática] f ‘(g (x)) [/ matemática] significa que toma la derivada de [matemática] f (x) [/ matemática] y luego conecta [matemática] g (x) [/ matemática]. La derivada de [math] f (g (x)) [/ math] significa que compones las funciones y luego tomas la derivada. Puede volver a escribir [matemáticas] \ frac {d} {dx} (f (g (x)) [/ matemáticas] como [matemáticas] h ‘(x) [/ matemáticas] si define [matemáticas] h (x) = f (g (x)) [/ math]. Hagamos un ejemplo:

[matemáticas] f (x) = 2x ^ 2 + 3x + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 4x + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) = f’ (3x ^ 2 + 4x + 5) = 4 (3x ^ 2 + 4x + 5) + 3 = 12x ^ 2 + 16x + 20 + 3 = 12x ^ 2 + 16x + 23 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (f (g (x))) = \ frac {d} {dx} (f (3x ^ 2 + 4x + 5)) = \ frac {d} {dx} (2 (3x ^ 2 + 4x + 5) ^ 2 + 3 (3x ^ 2 + 4x + 5) +4) = \ frac {d} {dx} (2 (9x ^ 4 + 16x ^ 2 + 25 + 12x ^ 3 + 15x ^ 2 + 20x) + 9x ^ 2 + 12x + 15 + 4) = \ frac {d} {dx} (2 (9x ^ 4 + 12x ^ 3 + 31x ^ 2 + 20x + 25) + 9x ^ 2 + 12x + 19) = \ frac {d} {dx} (18x ^ 4 + 24x ^ 3 + 62x ^ 2 + 40x + 50 + 9x ^ 2 + 12x + 19) = \ frac {d} {dx} (18x ^ 4 + 24x ^ 3 + 71x ^ 2 + 52x + 69) = 72x ^ 3 + 72x ^ 2 + 142x + 52 [/ matemática]

Claramente [matemáticas] 12x ^ 2 + 16x + 23 \ neq72x ^ 3 + 72x ^ 2 + 142x + 52 [/ matemáticas]

Answer 5

f (x) significa función de x mientras que f ‘(x) significa primera derivada de la función de x. ahora f (g (x)) es una función compleja que indica una función de g (x) donde g (x) es otra función de x. por otro lado f ‘(g (x)) indica a la primera derivada de f (g (x)) que es totalmente diferente del caso anterior.

ejemplos necesarios se dan en las respuestas de otros.

Answer 6

Esto se debe a que los derivados no funcionan como normalmente piensas que lo haces. Por ejemplo, intente usar la definición estándar de una derivada. (Lim x → infinito f (x + h) -f (x) / h). Además, no está teniendo en cuenta que g (x) en sí es una función, no una variable. (Cuando ingrese a las matemáticas de nivel superior lo entenderá, pero por ahora solo tendrá que soportarlo). va a ponerse más raro después de esto). Puede buscar la prueba de la regla de la cadena (así es como lo llamo) aunque es bastante complejo.

Answer 7

¿Cómo demostramos que f ‘(g (x)) no es igual a f (g (x))?

Si bien alguien puede dar la prueba de esto en otra respuesta, y espero que alguien lo haga, adoptaré un enfoque diferente.

Tome la siguiente suposición:

a (c) = b (c)

Pero tomamos la derivada de uno, pero no del otro.

a ‘(c) = b (c)? Realmente no.

Entonces a (c) = / = b (c) (con la excepción de c = n * e ^ x)

Una función no es igual a su derivada.

Entonces agreguemos una nueva idea

c = c (x)

Bueno, podemos sustituir c (x) en la declaración original.

a (c (x)) = b (c (x))

Y aún más, podemos sustituir eso en la desigualdad.

a ‘(c (x)) = / = b (c (x)) (excepto donde c (x) = n * e ^ x)

Cambia las letras un poco

f ‘(c (x)) = / = b (c (x)

f = b para que podamos usarlos de manera intercambiable.

f ‘(c (x)) = / = f (c (x))

Answer 8

En respuesta a: ¿Por qué f ‘(g (x)) no es igual a la derivada de f (g (x))? :

Lo hace, en cierto sentido. f ‘(g (x)) es la derivada de f (g (x)), con respecto a g (x).

Si digo que f ‘(x) es la derivada de f (x) con respecto a x, supongo que estás conmigo hasta ahora. Si digo que f ‘(w) es la derivada de f (w) con respecto a w, ¿suena bien? ¿Qué tal si digo que f ‘(w) es la derivada de f (w) con respecto a x ? Eso debería parecer sospechoso. f ‘(algo) es la derivada de f (el mismo algo) con respecto al mismo algo. En este caso, el algo es g (x). Y “con respecto a g (x)” es diferente de “con respecto a x”, a menos que g (x) = x.

Answer 9

Pensemos en esto con palabras.

Supongamos que tiene un trato en el que por cada $ que gana, alguien agradable lo duplicará por usted.

Luego (aún mejor) invierte este dinero en boletos de lotería y multiplica su inversión por diez veces.

Entonces, ¿qué pasa si ganas un dólar extra?

Sus ganancias de lotería aumentarán en 10 x 2 = 20 dólares.

¿Ves cómo primero tenemos que multiplicar por 2 y luego por 10?

Entonces puedes traducir esto al lenguaje de los derivados.

[matemáticas] f = [/ matemáticas] ganancias de lotería

[math] g = [/ math] dinero total que invierte en boletos de lotería

[matemáticas] x = [/ matemáticas] lo que gana.

[matemática] f ‘(g) = 10 [/ matemática] usted gana 10 veces su inversión g

[matemáticas] g ‘(x) = 2 [/ matemáticas] su inversión g es 2 veces lo que gana x

Entonces, ¿ves que tienes que multiplicar dos derivados para descubrir que (en este maravilloso mundo) cada dólar que ganes dará como resultado $ 20 en premios de lotería?

Espero que esto ayude.