Aquí hay otro enfoque que, una vez que lo comprenda, realmente puede ayudar a su intuición sobre las raíces y los límites en el futuro.
Para llegar a la respuesta, comenzaré desde un lugar bastante extraño. Comenzaré con una aproximación MUY útil que se aplica en una amplia variedad de problemas que involucran poderes (y, por supuesto, raíces).
[matemáticas] (1 + t) ^ a \ aprox 1 + en [/ matemáticas] para [matemáticas] | en | \ ll 1 [/ matemáticas]
Esta aproximación es simple de verificar usando una serie de Taylor. Lo que no es simple es ver cómo puede ser útil en su problema. La idea es que queremos transformar su problema de un límite cercano a uno a un límite cercano a cero. La razón es porque esta aproximación fácil de recordar nos dice cómo funcionarán tanto el numerador como el denominador en la vecindad de cero.
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- Sea [matemática] p (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5. [/ Matemática] ¿Cuál es el resto de la división de [matemática] p (x ^ {12} ) [/ math] por [math] p (x)? [/ math]
- ¿Cuál es la suma de [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]? (Es decir, [matemáticas] e + \ pi [/ matemáticas])
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Para transformar, simplemente dejamos que [math] t = x-1 [/ math] (o equivalente, [math] x = 1 + t [/ math]) para que un límite sea [math] x \ a 1 [/ math ] corresponde a un límite como [math] t \ a 0 [/ math].
Hacer la sustitución directa da:
[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {t \ a 0} \ frac {\ sqrt [3] {1 + t} -1} {\ sqrt {1 + t} -1}} [/ matemáticas]
Ahora, reemplazamos las raíces por poderes para obtener:
[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {t \ a 0} \ frac {(1 + t) ^ {\ frac 13} -1} {(1 + t) ^ {\ frac 12} -1}} [/ matemáticas ]
Y ahora vemos el punto de todo el esfuerzo. Observe que tanto en el numerador como en el denominador, tenemos términos que se parecen a: [math] (1 + t) ^ a [/ math]. Y, dado que estamos tomando [math] t \ a 0 [/ math], debe ser cierto que tanto en el numerador como en el denominador, [math] | at | \ ll 1 [/ math] para que la aproximación sea bastante bueno. (De hecho, se vuelve exacto en el límite, por lo que la respuesta no cambia). Aplicarlo para [matemáticas] a = \ frac 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = \ frac 12 [/ matemáticas] da :
[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {t \ a 0} \ frac {1+ \ frac t3-1} {1+ \ frac t2-1}} [/ matemáticas]
Después de notar que [matemática] 1–1 = 0 [/ matemática] vemos que el numerador se convierte en [matemática] \ frac t3 [/ matemática] y el denominador se convierte en [matemática] \ frac t2 [/ matemática] que inmediatamente da el valor del límite: [matemáticas] \ frac 23 [/ matemáticas].
* Nota: este enfoque no es la forma típica de resolver estos problemas en un curso introductorio de cálculo. Las otras respuestas hacen un buen trabajo al resaltar el enfoque más típico que se enseña. (Yo diría que realmente deberían resolverse de esta manera, pero esa es una conversación diferente). Entonces, si da esta respuesta en una tarea o examen, puede ser considerado incorrecto, especialmente en la escuela secundaria donde algunos maestros pueden estar menos cómodo pensando en estas ideas. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que este enfoque es EXACTAMENTE cómo debe pensar sobre el cálculo. Conecta la idea de los límites con la idea de la serie Taylor, que es una conexión extremadamente importante. También enfatiza que, si bien podríamos haber usado el mismo enfoque básico con una serie de Taylor centrada en torno a 1, a menudo es útil comprender la serie de Taylor en torno a cero y luego traducirla para centrarla en otro lugar.