¿Para qué valores de x, y y n es (x + y) ^ n> x ^ n + y ^ n?

Answer 1

Esta respuesta solo cubre [matemáticas] x \ geq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ geq 0 [/ matemáticas].

Primero, se eliminará un pequeño caso, el de [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], ya que, en ese caso, el lado izquierdo es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y el lado derecho es [matemáticas] 2 [ / math] (o, tal vez, un lado no está definido debido a la expresión [math] 0 ^ 0 [/ math]), por lo que la declaración es automáticamente falsa cuando [math] n = 0 [/ math]).

Si [matemática] x = 0 [/ matemática], ambos lados evalúan a [matemática] y ^ n [/ matemática], por lo que la desigualdad no se mantiene allí (y de manera similar si [matemática] y = 0 [/ matemática]) Por lo tanto, [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática].

En este caso, las siguientes declaraciones son equivalentes entre sí:

[matemáticas] (x + y) ^ n> x ^ n + y ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(x + y) ^ n} {x ^ n}> \ frac {x ^ n + y ^ n} {x ^ n} [/ matemáticas]

[matemática] \ izquierda (\ frac {x + y} {x} \ derecha) ^ n> \ frac {x ^ n} {x ^ n} + \ frac {y ^ n} {x ^ n} [/ matemática ]

[matemáticas] \ left (1+ \ frac {y} {x} \ right) ^ n> 1 + \ frac {y ^ n} {x ^ n} [/ math]

[matemática] \ izquierda (1+ \ frac {y} {x} \ derecha) ^ n> 1 + \ izquierda (\ frac {y} {x} \ derecha) ^ n [/ matemática]

Deje [math] u = \ frac {y} {x} [/ math], que da

[matemática] \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ n> 1 + u ^ n [/ matemática]

[matemática] \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ n – \ izquierda (1 + u ^ n \ derecha)> 0 [/ matemática]

Considere, por ahora, el caso con [math] n> 0 [/ math]. Esto sería una igualdad exacta cuando [math] u = 0 [/ math], por lo que quizás sea útil tomar la derivada con la idea de usar el teorema del valor medio. Esto da:

[matemática] n \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ {n-1} -nu ^ {n-1} [/ matemática]

Ahora, para [matemáticas] v> 0 [/ matemáticas], [matemáticas] nv ^ {n-1} [/ matemáticas] es:

• Una función estrictamente creciente, cuando [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]
• Una constante, cuando [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]
• Una función estrictamente decreciente, cuando [matemática] 0 <n <1 [/ matemática]

Por lo tanto, para [matemáticas] u> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas]:

• [matemática] n \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ {n-1} -nu ^ {n-1}> 0 [/ matemática] cuando [matemática] n> 1 [/ matemática]
• [matemática] n \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ {n-1} -nu ^ {n-1} = 0 [/ matemática] cuando [matemática] n = 1 [/ matemática]
• [matemática] n \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ {n-1} -nu ^ {n-1} <0 [/ matemática] cuando [matemática] n <1 [/ matemática]

Así, por el teorema del valor medio,

• [matemática] \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ n – \ izquierda (1 + u ^ n \ derecha)> 0 [/ matemática] cuando [matemática] n> 1 [/ matemática]
• [matemática] \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ n – \ izquierda (1 + u ^ n \ derecha) = 0 [/ matemática] cuando [matemática] n = 1 [/ matemática]
• [matemática] \ izquierda (1 + u \ derecha) ^ n – \ izquierda (1 + u ^ n \ derecha) = 0 [/ matemática] cuando [matemática] n <1 [/ matemática]

(Si este no fuera el caso para algunos [matemática] u> 0 [/ matemática], entonces el teorema del valor medio garantizaría la existencia de una [matemática] w [/ matemática] con [matemática] 0 <w <u [ / math] y la derivada que tiene el signo incorrecto).

¿Qué sucede si [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática] y [matemática] n 0 [/ math]. Esto no puede sostenerse porque, dado que [matemática] u> 0 [/ matemática], [matemática] (1 + u) ^ n 1 [/ matemática]. Por lo tanto, si [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática] y [matemática] n <0 [/ matemática], entonces la declaración es falsa.

Por lo tanto, los resultados, suponiendo que [math] x \ geq 0 [/ math] y [math] y \ geq 0 [/ math], son:

• Si [matemática] x = 0 [/ matemática] o [matemática] y = 0 [/ matemática] o [matemática] n = 0 [/ matemática], entonces la declaración es falsa.
• Si [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática] y [matemática] n> 0 [/ matemática], entonces:
• Si [math] n> 1 [/ math], entonces la afirmación es verdadera.
• Si [math] n \ leq 1 [/ math], la declaración es falsa.
• Si [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática] y [matemática] n> 0 [/ matemática], entonces la declaración es falsa.