¿Cuándo Ax = b tiene más de una solución?

Answer 1

Sea [math] A [/ math] una matriz [math] m \ times n [/ math], [math] x [/ math] sea un vector de columna [math] n \ times 1 [/ math] y [math ] b [/ math] sea un vector de columna [math] m \ times 1 [/ math]. Entonces [math] Ax = b [/ math] tiene más de una solución exactamente cuando

[matemáticas] \ textrm {rango} (A) <n [/ matemáticas] y [matemáticas] \ textrm {rango} (A) = \ textrm {rango} (A \ medio b) [/ matemáticas]

donde la matriz [matemática] A \ mid b [/ matemática] es matriz [matemática] A [/ matemática] con [matemática] b [/ matemática] ‘anexada’ como una columna adicional.

Ejemplos:

1. [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 2 \ end {pmatrix} [/ math] tiene más de uno solución, ya que [math] \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \ end {pmatrix} = 1 <2 [/ math] y [math] \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \ end {pmatrix} = 1 = \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \ end {pmatrix}. [/ math]
2. [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math] no tiene más de una solución, ya que [math] \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix} = 1 <2 [/ math] pero [math] ] \ textrm {rango} \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 1 \\ 2 y 2 y 1 \ end {pmatrix} = 2 \ ne 1. [/ math] (De hecho, esta ecuación matricial no tiene soluciones).
3. [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math] no tiene más de una solución, ya que [math] \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \ end { pmatrix} = 2 [/ math], que no es menor que el número de columnas de esta matriz ([math] 2 [/ math]). (De hecho, esta ecuación matricial no tiene soluciones).
4. [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math] no tiene más de una solución, ya que [math] \ textrm {rank} \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix} = 2 [/ math], que no es menor que el número de columnas de esta matriz ([matemáticas] 2 [/ matemáticas]). (De hecho, esta ecuación matricial tiene una solución).

Answer 2

Deje que el sistema de ecuaciones tenga n ecuaciones en m variables.

A es nxm, X es mx1, la matriz aumentada AB es nx (m + 1)

1. Determinante de A = 0
2. Rango de A = Rango de matriz aumentada AB

Answer 3

Ax = b tiene más de una solución o ninguna si A no es invertible, es decir, no puede encontrar el inverso de la matriz A. Esto generalmente sucede cuando tiene un sistema de ecuaciones donde el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones independientes. Puede encontrar una buena lectura aquí http://people.wku.edu/david.neal …

Answer 4

Respuesta corta: cuando A no es invertible.

Respuesta larga: el teorema para saber es el siguiente;

deja que [math] \ alpha [/ math] sea una solución para [math] Ax = b [/ math], entonces [math] x = \ alpha + \ chi [/ math] es una solución para [math] Ax = b [/ math] si y solo si [math] \ chi [/ math] es una solución para el sistema homogéneo [math] Ax = 0 [/ math].

Eso significa que si A es invertible

[matemáticas] Ax = b \ Leftrightarrow A ^ {- 1} Ax = A ^ {- 1} b \ Leftrightarrow x = A ^ {- 1} b [/ math]

Si no, hay infinitas soluciones para [matemática] Ax = 0 [/ matemática], por lo tanto, infinitas soluciones o cero para [matemática] Ax = b [/ matemática]

Answer 5

Supongo que quieres infinitas soluciones para x.

Intente configurar A = 1 y B = x. Obtendrá 1 (x) = x, que es igual a x = x. Esta ecuación tiene infinitas soluciones.

En general, puede configurar A para lo que quiera y configurar B para lo que esté en el lado izquierdo, y obtendrá una ecuación con un número infinito de soluciones.