¿Cuál es la suma de [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]? (Es decir, [matemáticas] e + \ pi [/ matemáticas])

Answer 1

Comencemos con el valor numérico de [math] e + \ pi [/ math].

[matemática] \ pi [/ matemática] es una constante matemática, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

[matemáticas] \ displaystyle \ pi \ aprox 3.14159265358979323846264338327950288420 \ ldots [/ matemáticas]

[matemáticas] e [/ matemáticas] es una constante matemática, la base de los logaritmos naturales.

[matemáticas] \ displaystyle e \ aprox 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957497 \ ldots [/ matemáticas]

[matemáticas] e + \ pi [/ matemáticas] es aproximadamente igual a:

5. …

A continuación se muestran algunas expresiones y representaciones de [math] e + \ pi [/ math], tomadas de Mathematica y Wolfram Alpha y verificadas con Mathematica:

[matemáticas] \ displaystyle e + \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {2 k + 1} {(2 k)!} + \ frac {2 \ sqrt {3 } \ left (- \ frac {1} {3} \ right) ^ k} {2 k + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {8} {(4 k-2) (4 k-1)} – \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {k + 1} {(k + 3)!} + 3 + 2 \ ln (2) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(3 k) ^ 2 + 1} {(3 k)!} + 2 i \ ln \ left (\ frac {1 -i} {1 + i} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {k ^ 2-2 k + 1} {k!} + \ frac {40} {11} \ int_0 ^ {\ infty } \ frac {\ sin ^ 6 (t)} {t ^ 6} \, dt [/ math]

Y aquí está la forma de fracción continua de [math] e + \ pi [/ math]:

Answer 2

Bueno, como cualquier calculadora podría decirle, e + pi ~ 5.859874482. Sin embargo, esto no es exacto ni la respuesta que probablemente estaba buscando.

El problema es que tanto e como pi son irracionales (no se pueden representar como una fracción de enteros). Sin embargo, podemos expresar cada uno como una serie infinita (en realidad hemos encontrado muchas representaciones equivalentes).

[matemáticas] e = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ pi = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} 4 \ frac {(- 1) ^ k} {2k + 1} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] e + \ pi = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (\ frac {1} {k!} + 4 \ frac {(- 1) ^ k} {2k + 1}) [/ matemáticas ]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (\ frac {2k + 1} {k! (2k + 1)} + 4 \ frac {(- 1) ^ kk!} {k! ( 2k + 1)}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {2k + 1 + 4 (-1) ^ kk!} {k! (2k + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 5 + \ frac {-1} {3} + \ frac {13} {10} + \ frac {-17} {42} +… [/ matemáticas]

Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 3

Es un elemento del conjunto de números reales que es igual a la suma de [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. No hay forma conocida de escribir este número de manera más concisa que [math] e + \ pi [/ math]. Muy poco se sabe sobre este número; Por ejemplo, si es racional o irracional es un misterio.

Su expansión decimal comienza 5.859844 …

Answer 4

¡La respuesta seguramente te sorprenderá!

Pi + e = PIE !!!

No, en serio, es un número real, probablemente trascendental (aunque no se sabe) y no tiene nada de especial.

Answer 5

Algunas personas el sábado por la noche …