Sea [matemática] p (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5. [/ Matemática] ¿Cuál es el resto de la división de [matemática] p (x ^ {12} ) [/ math] por [math] p (x)? [/ math]

Answer 1

Otros métodos de este problema serán extremadamente complejos y no podrá utilizarlos en caso de cualquier otro problema de este mismo tipo.

Entonces, utilicé un programa simple para llegar a la respuesta sin usar ninguna cornucopia matemática de lógica.

Escribiremos un programa absurdo pero extremadamente útil para este, que también podrás utilizar para otros problemas aunque con algunos matices.

Déjame darte una visión general del programa,

VISIÓN DE CONJUNTO:

Escribiremos [matemáticas] x ^ {60} [/ matemáticas] como 6 [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {- 59} [/ matemáticas] como [matemáticas] -59 [/ matemáticas]

Entonces, no arruines este paso.

Entonces, el dividendo se convertirá

[matemáticas] 60,48,36,24,12,0 [/ matemáticas]

y el divisor se convertirá

[matemáticas] 5,4,3,2,1,0 [/ matemáticas]

Ahora multiplicaremos [matemáticas] x ^ {5} [/ matemáticas] con [matemáticas] x ^ {55} [/ matemáticas].

Luego verificaremos si algún término del producto puede cancelarse y luego agregaremos los otros términos en consecuencia.

Enjuagaremos y repetiremos este paso hasta que lleguemos a un formulario donde obtengamos respuesta.

a = [60,48,36,24,12,0]
p = 60-5

r = 2 # [se puede asignar cualquier número positivo para ejecutar el programa.]

mientras p> 0:
b = [5,4,3,2,1,0]
c = []
para i en rango (0,6):

si r> 0:
c.append (p + b [i])
más:
c.append (-pb [i])
para i en rango (0,6):
si c [i] en a:
a.remove (c [i])
más:
a.append (- (c [i]))
q1 = abs (max (a))
q2 = abs (min (a))
si q1> q2:
p = q1-5
r = q1
si q2> q1:
p = q2-5
r = -q2

print (‘la lista es’, a)

Ahora si ejecutas este mamut obtendrás esto ::::

Ahora, si observa detenidamente, notará que hay uno y solo un cero y

cinco -5, cinco -4, cinco -3, cinco -2, cinco -1.

Entonces se puede escribir como

[matemáticas] -5x ^ 5-5x ^ 4-5x ^ 3-5x ^ 2-5x + 1 [/ matemáticas] [Como [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas]]

Ahora, si usas la división larga más simple una vez, obtendrás

Entonces nuestra respuesta es 6.

Espero que esto ayude y mira este Sampad Acharya. SOLO ESPERO QUORA TENÍA UN BOTÓN DE ETIQUETA

Nota: una respuesta similar se puede encontrar aquí ::::::

La respuesta de Sayan Acharya a ¿Cuál será el resto si [matemáticas] x ^ {420} + x ^ {350} + x ^ {280} + x ^ {210} + x ^ {140} + x ^ {70} +1 [/ math] se divide por [math] x ^ {12} + x ^ {10} + x ^ 8 + x ^ 6 + x ^ 4 + x ^ 2 + 1 [/ math]?

Editar 1 :::

Hola gente, se me ocurrió un programa más actualizado y mejor que puede manejar cualquier tipo de división polinómica. Puede usar este programa para dividir cualquier polinomio por cualquier polinomio ::::

Mira esto

# 0 parte
def dabla (exp, val, re):
cadena = ”
para i en rango (0, len (val)):
si val [i] <0 y val [i]! = – 1:
si exp [i]! = 0:
cadena = cadena + str (val [i]) + ‘x ^’ + str (exp [i])
más:
cadena = cadena + cadena (val [i])
si val [i]> 0 y val [i]! = 1:
si exp [i]! = 0:
cadena = cadena + ‘+’ + str (val [i]) + ‘x ^’ + str (exp [i])
más:
cadena = cadena + ‘+’ + cadena (val [i])
si val [i] == 1:
si exp [i]! = 0:
cadena = cadena + ‘+’ + ‘x ^’ + cadena (exp [i])
más:
cadena = cadena + ‘+’ + cadena (val [i])
si val [i] == – 1:
si exp [i]! = 0:
cadena = cadena + ‘-‘ + ‘x ^’ + cadena (exp [i])
más:
cadena = cadena + cadena (val [i])

return (print (‘the’ + re + ‘es’ + ‘[‘ + string + ‘]’))

exp3 = []
val3 = []
print (‘en caso de dividendo :::’)
impresión()
z1 = int (input (‘el número de términos’))
impresión()
exp1 = []
val1 = []
para i en rango (0, z1):

val1.append (float (input (‘el coeficiente:’)))
impresión()
exp1.append (int (input (‘el exponente:’)))
impresión()
z11 = i * 0

impresión()
print (‘en caso de divisor’)
impresión()
z2 = int (input (‘el número de términos’))
impresión()
exp2 = []
val2 = []
para i en rango (0, z2):

val2.append (float (input (‘el coeficiente:’)))
impresión()
exp2.append (int (input (‘el exponente:’)))
impresión()
z22 = i * 0
# 1 parte
para i en rango (0, len (exp1)):
si val1 [i] == 0:
del (exp1 [i])
del (val1 [i])
para i en rango (0, len (exp2)):
si val2 [i] == 0:
del (exp2 [i])
del (val2 [i])
val11 = []
val22 = []
para i en rango (0, len (val1)):
if int (val1 [i]) == val1 [i]:
val11.append (int (val1 [i]))
más:
val11.append (val1 [i])
q1z = i * 0
para i en rango (0, len (val2)):
si int (val2 [i]) == val2 [i]:
val22.append (int (val2 [i]))
más:
val22.append (val2 [i])
q1z = i * 0
dividendo = ‘dividendo’
divisor = ‘divisor’
si exp1! = [] y val1! = []:
dabla (exp1, val11, dividendo)
impresión()
más:
print (‘el dividendo es’, ‘[0]’)
impresión()
si exp2! = [] y val2! = []:
dabla (exp2, val22, divisor)
impresión()
más:
print (‘el divisor es’, ‘[0]’)
impresión()

expk = []
para i en rango (0, len (exp1)):
expk.append (exp1 [i])
while expk! = []:
a = max (exp1) -max (exp2)
si a> = 0:
metre1 = 0
shm1 = 0
mientras metre1 == 0:
si exp1 [shm1] == max (exp1):
metre1 = 1
más:
metre1 = 0
shm1 + = 1
metre2 = 0
shm2 = 0
mientras que metre2 == 0:
si exp2 [shm2] == max (exp2):
metre2 = 1
más:
metre2 = 0
shm2 + = 1
b = val1 [shm1] / val2 [shm2]
exp3.append (a)
val3.append (b)
# 2 parte

pseudoexp1 = []
para i en rango (0, len (exp2)):
pseudoexp1.append (a + exp2 [i])
pseudoval1 = []
para i en rango (0, len (exp2)):
pseudoval1.append (b * val2 [i])
expg = []
para i en rango (0, len (exp1)):
expg.append (exp1 [i])
para i en rango (0, len (pseudoval1)):
si pseudoexp1 [i] en exp1:
metre4 = 0
shm4 = 0
mientras que metre4 == 0:
si exp1 [shm4] == pseudoexp1 [i]:
metre4 = 1
más:
metre4 = 0
shm4 + = 1
si pseudoval1 [i] == val1 [shm4]:
del (exp1 [shm4])
del (val1 [shm4])
más:
exp1.append (exp1 [shm4])
val1.append (val1 [shm4] -pseudoval1 [i])
del (exp1 [shm4])
del (val1 [shm4])

si pseudoexp1 [i] no está en expg:
exp1.append (pseudoexp1 [i])
val1.append (-pseudoval1 [i])

expk = []
para i en rango (0, len (exp1)):
expk.append (exp1 [i])

más:
expk = []

# 3 parte
val11 = []
val33 = []
val22 = []
para i en rango (0, len (val1)):
if int (val1 [i]) == val1 [i]:
val11.append (int (val1 [i]))
más:
val11.append (val1 [i])
q1z = i * 0
para i en rango (0, len (val3)):
if int (val3 [i]) == val3 [i]:
val33.append (int (val3 [i]))
más:
val33.append (val3 [i])
q3z = i * 0

resto = ‘resto’
respuesta = ‘respuesta’

si exp1! = [] y val1! = []:
dabla (exp1, val11, resto)
impresión()
más:
print (‘el resto es’, ‘[0]’)
impresión()
si exp3! = [] y val3! = []:
dabla (exp3, val33, respuesta)
impresión()
más:
print (‘la respuesta es [0]’)
impresión()
#HECHO POR SAYAN ACHARYA
#PAZ

Ejecute este programa en python 3 o superior o aquí:

Código, compilar, ejecutar, depurar en línea C, C ++

ponga 1 para todos los coeficientes y ponga los exponentes en consecuencia, obtendrá ::

Espero que esto ayude.

Answer 2

Gracias por el A2A. La respuesta es [matemáticas] 6. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] p (x) = \ dfrac {x ^ 6-1} {x-1}. [/ Math]

Calculemos [matemáticas] p (x ^ {12}) \ mod x ^ 6-1. [/ Matemáticas]

Esto equivale a reemplazar [matemáticas] x ^ 6 [/ matemáticas] por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en todos los términos de [matemáticas] p (x ^ {12}) [/ matemáticas]. Como tiene 6 términos y todos son potencias de [matemáticas] x ^ 6 [/ matemáticas], concluimos que [matemáticas] p (x ^ {12}) = 6 \ mod x ^ 6-1, [/ matemáticas] es decir [ matemáticas] p (x ^ {12}) = (x ^ 6-1) q (x) +6. [/ matemáticas]

Reescríbalo como [matemáticas] p (x ^ {12}) = p (x) (x-1) q (x) +6. [/ Matemáticas]

Ahora ve [math] p (x ^ {12}) = p (x) Q (x) +6, [/ math] donde [math] Q = (x-1) q (x). [/ Math]

El grado de [matemáticas] 6 [/ matemáticas] es [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y obviamente es menor que el grado de [matemáticas] p, \; 5. [/ math] Por lo tanto, según la definición [math] 6 [/ math] es también el resto de la división de [math] p (x ^ {12}) [/ math] por [math] p (x). [ /matemáticas]

Observación En general, siempre puede usar esta estrategia con números, polinomios, o más generales, en anillos euclidianos. Si desea calcular [matemática] f \ mod g [/ matemática] (el resto), pero sabe cómo calcular [matemática] f \ mod h [/ matemática] con [matemática] h [/ matemática] divisible por [ matemática] g, [/ matemática] puede calcular el resto de la división de [matemática] f [/ matemática] por [matemática] h [/ matemática] y luego reducirlo módulo [matemática] g. [/ matemática]

Por ejemplo, si sabe que [math] x \ equiv 5 \ mod 9, [/ math] puede concluir que es [math] x \ equiv 2 \ mod 3, [/ math] sin siquiera saber [math] x. [/matemáticas]

Answer 3

Vayamos camino peatonal.

[matemáticas] p (x ^ {12}) = 1 + x ^ {12} + x ^ {24} + x ^ {36} + x ^ {48} + x ^ {60} [/ matemáticas]

Comencemos con [matemáticas] x ^ {60} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {60} = x ^ {55} (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5}) – x ^ {54} ( 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5}) + x ^ {54} [/ matemáticas]

Entonces, dividir entre p (x) [matemáticas] x ^ {60} [/ matemáticas] da el resto intermedio de [matemáticas] x ^ {54} [/ matemáticas]

que a su vez se reduce a [matemática] x ^ {48} [/ matemática] y así sucesivamente hasta que e finalmente obtenga [matemática] x ^ 0 = 1 [/ matemática] como el resto.

Entonces, el resto que usa todos los términos en [matemáticas] p (x ^ {12}) [/ matemáticas] llega a 6.

…………………………………………………………………………………………… ..

Alternativamente,

[matemáticas] p (x) (x-1) = x ^ 6–1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] x ^ 6 mod p (x) [/ matemática] es 1

Entonces cada término en [math] p (x ^ {12}) [/ math] tiene el resto 1.

para 6 términos, el resto es [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Answer 4

[matemáticas] p (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5 = \ dfrac {x ^ 6–1} {x-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] p (x ^ {12}) = 1 + x ^ {12} + x ^ {24} + x ^ {36} + x ^ {48} + x ^ {60} = \ dfrac {(x ^ {12}) ^ 6-1} {x ^ {12} -1} = \ dfrac {x ^ {72} -1} {x ^ {12} -1} [/ matemáticas]

---

Realizaremos el calculo

[matemáticas] \ dfrac {p (x ^ {12})} {p (x)} = \ dfrac {(x ^ {72} -1) (x-1)} {(x ^ {12} -1) (x ^ 6-1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {72} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ {24}) ^ 3–1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ {24} -1) (x ^ {48} + x ^ {24} +1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ {12} +1) \ color {rojo} {(x ^ {12} -1)} (x ^ {48} + x ^ {24} +1) [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ dfrac {(x ^ {12} +1) (x ^ {48} + x ^ {24} +1) (x-1)} {x ^ 6–1} [/ matemáticas]

Answer 5

1-x ^ 13

He olvidado mi habilidad matemática, todavía lo intenté.

p (x ^ 12) = 1 + x ^ 12 + x ^ 24 + x ^ 36 + x ^ 48 + x ^ 60 [= y]

p (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5

si multiplicamos p (x) * x ^ 12, obtenemos

x ^ 12 + x ^ 13 + x ^ 24 + x ^ 36 + x ^ 48 + x ^ 60

El resto sería 1-x ^ 13