En cálculo, ¿cuándo [math] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ math]?

Answer 1

En cálculo, ¿cuándo [math] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ math] ?

La respuesta corta sería: Esto siempre es cierto … excepto cuando se sabe algo sobre [matemáticas] x [/ matemáticas] que hace posible omitir el valor absoluto. Por ejemplo, si sabemos que [matemáticas] x \ ge 10 [/ matemáticas], podríamos simplificar [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas], o si supiéramos que [matemáticas] x \ le -2 [/ math], podríamos escribir [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] como [math] -x [/ math].

Como Jared Ronning declaró en su comentario, el caso señalado en los detalles de la pregunta es un error o una restricción de dominio. En general, tendríamos

[matemáticas] \ sqrt {\ sqrt {(x-3) ^ 2} +3} = \ sqrt {| x-3 | +3} = \ cases {\ sqrt {x-3 + 3} y if $ x \ ge 3 $ \\ [10pt] \ sqrt {-x + 3 + 3} & if $ x <3 $} = \ cases {\ sqrt {x} y if $ x \ ge 3 $ \\ [10pt] \ sqrt {6-x} y if $ x <3 $} [/ math]

Answer 2

Respuesta corta: siempre. Hay algunos casos en los que se puede escribir [matemáticas] | x | [/ math] como solo [math] x [/ math] (es decir, donde se sabe que x es [math] \ ge 0 [/ math]), pero de lo contrario no puede decir [math] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas].

El ejemplo que da en los detalles es un error por parte del escritor de la solución. Si [math] x \ ge 3 [/ math], esto es correcto porque el valor [math] \ sqrt {(x-3) ^ 2} [/ math] siempre es positivo. De lo contrario (cuando [math] x <3 [/ math]), la expresión se evalúa como

[matemáticas] \ sqrt {- (x-3) + 3} = \ sqrt {-x + 6} [/ matemáticas]

Aquí está la imagen de la gráfica de su función (en rojo) junto con la gráfica de [math] \ sqrt {x} [/ math], para que pueda ver dónde se superponen (púrpura) y dónde no:

Tenga en cuenta que, tal como se predijo, la función [matemáticas] \ sqrt {\ sqrt {(x-3) ^ 2} + 3} = \ sqrt {x} [/ matemáticas] solo para [matemáticas] x \ ge 3 [ /matemáticas].

Answer 3

Como se entiende que el símbolo de la raíz cuadrada representa la raíz cuadrada principal , el valor siempre es positivo para un argumento positivo.

El valor de [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] es, por lo tanto, siempre positivo, aunque [math] x [/ math] puede no serlo. Aquí está el gráfico de [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math]:

Como puede ver, se parece al valor absoluto.

En el cálculo, este problema surge en la solución a

[matemáticas] \ int \ sqrt {x ^ 2–1} \; dx [/ matemáticas].

Después de alguna sustitución trigonométrica, terminas con

[matemáticas] \ int \ sqrt {\ tan ^ 2 t} \ sec t \ tan t \; dt [/ matemáticas]

Que ingenuamente puedes simplificar a

[matemáticas] \ int \ sec t \ tan ^ 2 t \; dt [/ matemáticas]

Esto está mal. Antes de la simplificación ingenua, [math] \ sqrt {\ tan ^ 2 t} [/ math] siempre era positivo, por lo que [math] \ sqrt {\ tan ^ 2 t} \ tan t [/ math] podría ser positivo o negativo . Pero [math] \ tan ^ 2 t [/ math] siempre es positivo.

[matemáticas] \ sqrt {\ tan ^ 2 t} \ seg t \ tan t [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ seg t \ tan ^ 2 t [/ matemáticas]:

Answer 4

Cuando se escribe una variable o un número en el problema con la raíz cuadrada, se supone que la respuesta es solo la raíz cuadrada principal, que es la respuesta positiva. Entonces, si un problema tiene escrita “la raíz cuadrada de cuatro”, suponga que la respuesta es solo +2.

Sin embargo, si está resolviendo un problema y una raíz no está escrita en el problema, y ​​debe tomar la raíz de algo para resolver la ecuación, use las raíces positivas y negativas. por ejemplo, “x ^ 2 = 4”, para resolver debes raíz cuadrada en ambos lados, y obtendrás x = raíz cuadrada 4. x = -2, +2, porque escribiste en la raíz cuadrada, entonces no es Se supone que es solo la raíz cuadrada principal.

Answer 5

Supongo que es porque abs (x) es en realidad una función por partes. Es bueno que hayas notado que los escritores usaron ese formato para la respuesta, pero creo que el formato de la clave de respuesta debería ser trivial en comparación con las lecciones reales en el libro de texto.