Cómo demostrar que el límite del valor absoluto (4x ^ 3) = 256 a medida que x se acerca a 4

Answer 1

Recuerda la identidad

[matemáticas] a ^ 3 – b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

Ahora mira

[matemáticas] \ lvert 4x ^ 3 – 256 \ rvert = 4 \ lvert x ^ 3 – 4 ^ 3 \ rvert = 4 \ lvert x-4 \ rvert \ lvert x ^ 2 + 4x + 16 \ rvert [/ matemáticas]

Suponga que [math] \ lvert x – 4 \ rvert \ lt 1 [/ math]

Luego por el triángulo desigualdad

[matemáticas] \ lvert x \ rvert = \ lvert x-4 +4 \ rvert \ le \ lvert x-4 \ rvert + 4 \ lt 4+ 1 = 5 [/ matemáticas]

De nuevo por la desigualdad triangular

[matemáticas] \ lvert x ^ 2 + 4x + 16 \ rvert \ le \ lvert x \ rvert ^ 2 + 4 \ lvert x \ rvert + 16 \ lt 25 + 20 + 16 = 51 [/ matemáticas]

Entonces [math] \ lvert x – 4 \ rvert \ lt 1 [/ math] implica

[matemáticas] \ lvert 4x ^ 3 – 256 \ rvert \ lt 51 4 \ lvert x-4 \ rvert = 204 \ lvert x-4 \ rvert [/ math]

Ahora dado [math] \ epsilon \ gt 0 [/ math], tome [math] \ delta <min (1, \ frac {\ epsilon} {204}) [/ math]

Entonces si [math] \ lvert x – 4 \ rvert \ lt \ delta [/ math] entonces

[matemáticas] \ lvert 4x ^ 3 – 256 \ rvert \ lt 164 \ lvert x-4 \ rvert \ lt \ epsilon [/ math]

Answer 2

Queremos encontrar [matemáticas] \ lim_ {x \ a 4} 4x ^ 3 [/ matemáticas]

Como [math] 4x ^ 3 [/ math] es un gráfico continuo con un valor definido en x = 4, simplemente podemos conectar [math] x = 4 [/ math] para obtener [math] \ lim_ {x \ to 4} 4x ^ 3 = 256 [/ matemáticas]