El teorema fundamental del álgebra nos dice que un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] en los números complejos (contando raíces repetidas). Además, si los coeficientes son de números reales, las raíces con una parte imaginaria distinta de cero vienen en pares conjugados complejos. Si el polinomio es de grado impar y tiene coeficientes reales, entonces una de las raíces es real (el número de raíces reales es positivo e impar). Si el polinomio es de grado par y tiene coeficientes reales, entonces puede que no haya raíces reales o incluso un número positivo de raíces.
Ahora la expresión en la pregunta es (was) [math] – \ frac {3} {4} x ^ 4 + 6x [/ math]. Este es un polinomio de grado 4, pero si estamos siendo pedantes (y con nuestros sombreros de matemático siempre deberíamos estarlo) esto no es una ecuación: no hay (era) ningún signo “[matemáticas] = [/ matemáticas]” ser visto. Dicho esto, el polinomio tiene raíces que son las mismas que las soluciones a la ecuación donde la expresión se establece igual a cero.
Deje [math] p (x) = – \ frac {3} {4} x ^ 4 + 6x [/ math]. Busquemos sus raíces, entonces establecemos [math] p (x) = 0 [/ math].
También factoricemos la expresión polinómica:
- Cómo dibujar el pecado (ln x)
- Cómo encontrar [matemáticas] f (x_i) [/ matemáticas] cuando se usan sumas de Riemann con sigma para [matemáticas] f (x) = (x-1) ^ 2 [/ matemáticas]
- ¿Qué es m si [matemáticas] 81 ^ {1-m} = 9 \ cdot27 ^ {m-1} \ cdot3 (3 ^ {1 + m}) [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que el límite del valor absoluto (4x ^ 3) = 256 a medida que x se acerca a 4
- En cálculo, ¿cuándo [math] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ math]?
[matemáticas] – \ frac {3} {4} x (x ^ 3 – 8) = 0 [/ matemáticas].
Podemos ignorar la escala constante [matemáticas] – \ frac {3} {4} [/ matemáticas], por lo que la expresión anterior se puede simplificar a
[matemáticas] x (x ^ 3–8) = 0 [/ matemáticas].
Esto solo es cierto si [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o si [matemáticas] x ^ 3-8 = 0 [/ matemáticas]. La última expresión es equivalente a [matemáticas] x ^ 3 = 8 [/ matemáticas].
Ahora si [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], entonces las dos únicas soluciones son [math] x = 0 [/ math] y [math] x = 2 [/ math], porque las únicas número real cuyo cubo es [matemáticas] 8 [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 [/ matemáticas].
Si permitimos [math] x \ in \ mathbb {C} [/ math] (aunque la convención habitual es que [math] x [/ math] denota un número real y, a menudo, [math] z [/ math] denota un número complejo, para que podamos escribir [matemática] z = x + iy [/ matemática] en forma cartesiana), luego hay dos números más complejos (con una parte imaginaria distinta de cero) cuyos cubos son [matemática] 8 [/ matemática ] Estas son las soluciones “faltantes”.
No entraré en detalles sobre cómo encontrarlos, ya que puede encontrar fácilmente el método en otros lugares de Quora o en muchos otros lugares de la web.