¿Cuál es una explicación intuitiva del siguiente hecho matemático: [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ 2}} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [ /matemáticas]?

Answer 1

Abordemos esto paso a paso.

En primer lugar, hay infinitos términos en esta secuencia. ¿Por qué la suma debe ser finita?

Esto no es muy difícil de ver. Una explicación intuitiva es que los términos se vuelven cada vez más pequeños y, por lo tanto, la suma converge (aunque esto puede no ser válido siempre, por ejemplo, suma [math] \ displaystyle \ frac {1} {n} [/ math] diverge).

La convergencia se puede demostrar matemáticamente mediante la prueba de la serie p . Sin embargo, dado que se requiere una explicación intuitiva, intentaré mostrar lo mismo de una manera diferente.

[matemáticas] 1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} <\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} = \ frac {1} {2} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {16} + \ frac {1} {25} + \ frac {1} {36} + \ frac {1} {49} <\ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

y así sucesivamente, agrupando [math] 2 ^ n [/ math] términos cada vez, y mostrando que cada suma es menor que [math] \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ n} [/ math]

Entonces terminaremos con

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} [/ matemáticas] <[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1 } {4} + \ frac {1} {8} +… [/ matemática] = [matemática] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n} = 2 [/ matemática ]

y claramente [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} [/ math] es mayor que 1.

Por lo tanto, [math] \ displaystyle 1 <\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} <2 [/ math]

Esto es lo que me llevó mi intuición. Que esta serie converge y que su suma se encuentra entre 1 y 2. (que [matemática] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemática] satisface).

Creo que aunque la intuición es útil para verificar si sus resultados son correctos o no, solo puede llevarlo tan lejos y después de eso se deben intentar enfoques más rigurosos.

El uso de una explicación matemática más rigurosa puede demostrarse. Este problema es el problema básico y el siguiente enlace tiene múltiples enfoques para demostrar lo mismo.

Problema de Basilea – Wikipedia

Siéntase libre de corregir cualquier error. Si sientes que hay algo que me perdí, por favor comente sobre lo mismo.

Answer 2

Otra forma de explicarlo utilizando la Serie Fourier, que es ampliamente utilizada en problemas de ingeniería / física.

Encontraremos la expansión de la serie de Fourier de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en el intervalo [matemáticas] – \ pi \ le x \ le \ pi. [/ Matemáticas]

La serie de Fourier para una función en un intervalo específico con período [matemática] 2 \ pi [/ matemática] se puede dar como:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {a_ {0}} {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ cos nx + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sen nx [/ math]

donde [math] a_ {0}, a_ {n}, b_ {n} [/ math] se pueden obtener utilizando las fórmulas de Euler para los coeficientes de Fourier.

Para [matemáticas] f (x) = x ^ 2, \, – \ pi \ le x \ le \ pi [/ matemáticas] observamos,

[matemáticas] \ displaystyle a_ {0} = \ dfrac {1} {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ 2 \, dx = \ dfrac {2 \ pi ^ 2} {3} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a_ {n} = \ dfrac {1} {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ 2 \ cos nx \, dx = \ dfrac {4 \ left (-1 \ right) ^ n} {n ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle b_ {n} = \ dfrac {1} {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ 2 \ sin nx \, dx = 0 [/ matemáticas]

De ahí la expansión de la serie de Fourier para [matemáticas] f (x) = x ^ 2, \, – \ pi \ le x \ le \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 = \ dfrac {\ pi ^ 2} {3} + 4 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} \ cos nx [/ math]

O,

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 = \ dfrac {\ pi ^ 2} {3} + 4 \ left [\ dfrac {- \ cos x} {1 ^ 2} + \ dfrac {\ cos 2x} {2 ^ 2 } + \ dfrac {- \ cos 3x} {3 ^ 2} \ cdots \ right] [/ math]

Enchufar [math] x = \ pi, [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ pi ^ 2 = \ dfrac {\ pi ^ 2} {3} + 4 \ left (\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} \ cdots \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} \ cdots [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ boxed {\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {k ^ 2} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6}} [/ math]

No es tan intuitivo como otras respuestas, sino más bien divertido.

Answer 3

Recientemente encontré esta prueba:

Encontraremos [math] \ displaystyle \ int _ {\ gamma} ^ {} {\ dfrac {\ log (1 + z)} {z}} [/ math]

Donde [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas]. Es el semicírculo superior del círculo unitario con su diámetro. Ahora denotamos el semicírculo por [math] \ gamma ‘[/ math]. Por el teorema de Cauchy anterior integral es 0. Entonces

[matemáticas] 0 = \ displaystyle \ int _ {\ gamma} ^ {} {\ dfrac {\ log (z + 1)} {z}} = \ displaystyle \ int _ {\ gamma ‘} ^ {} {\ dfrac {\ log (z + 1)} {z}} + \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ dfrac {\ log (z + 1)} {z} dz} [/ math]

Pero

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ gamma ‘} {\ dfrac {\ log (1 + z)} {z}} = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} {\ dfrac {\ log (1 + e ^ { i \ theta})} {e ^ {i \ theta}} .ie ^ {i \ theta} d \ theta} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi} {i \ left (\ log (2 \ cos (\ theta / 2)) + \ log (e ^ {i \ theta / 2}) \ right )}[/matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi} {- \ theta / 2} [/ math] [math] = – \ dfrac {\ pi ^ 2} {4} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ dfrac {\ log (1 + z)} {z}} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {4} [/ matemáticas]

Pero vemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ dfrac {\ log {(1 + z)}} {z} dz} = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {\ dfrac { \ log {(1 + z)}} {z} dz} – \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} {\ dfrac {\ log (1-z)} {z}} [/ math]

[matemática] = \ zeta (2) / 2 + \ zeta (2) [/ matemática] (Esto se desprende de la expansión de la serie de registros)

Por lo tanto, [math] \ zeta (2) = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

Answer 4

Explicaré el enfoque de Euler a este problema, asumiendo un nivel de cálculo en la escuela secundaria.

La serie Taylor del seno es:

[matemáticas] \ sin (x) = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… [/ matemáticas]

Dividiendo por [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] \ frac {\ sin (x)} {x} = 1- \ frac {x ^ 2} {3!} + \ frac {x ^ 4} {5!} – \ frac {x ^ 6} { 7!} +… [/ Matemáticas]

Ok, hasta ahora todo bien. Aquí es donde usamos el teorema de factorización de Weierstrass: Wikipedia.

El teorema de factorización de Weierstrass básicamente dice que las funciones se pueden representar como un producto que involucra sus ceros.

En este caso, queremos representar la función [matemáticas] \ frac {\ sin (x)} {x} [/ matemáticas], y sabemos que las raíces son [matemáticas] \ pm \ pi, \ pm {2} \ pi, \ pm {3} \ pi … [/ math]

Esto significa que su representación sería [matemáticas] (1- \ frac {x} {\ pi}) (1+ \ frac {x} {\ pi}) (1- \ frac {x} {2 \ pi}) (1+ \ frac {x} {2 \ pi}) (1- \ frac {x} {3 \ pi}) (1+ \ frac {x} {3 \ pi})… [/ math]

Puede verificarlo usted mismo si lo desea, eche un vistazo a este gráfico de Desmos: Calculadora gráfica de Desmos (ajuste la [matemática] a [/ matemática] para que sea más alta)

Usando la diferencia de cuadrados, obtenemos [matemáticas] (1- \ frac {x ^ 2} {\ pi ^ 2}) (1- \ frac {x ^ 2} {4 \ pi ^ 2}) (1- \ frac {x ^ 2} {9 \ pi ^ 2})… [/ matemáticas]

Ok, hasta ahora, aparte del teorema de factorización, solo hemos usado matemáticas de nivel secundario. Ahora, si multiplicamos esto, (esto toma un poco de álgebra) podemos ver que el coeficiente del término [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es:

[matemáticas] – (\ frac {1} {\ pi ^ 2} + \ frac {1} {4 \ pi ^ 2} + \ frac {1} {9 \ pi ^ 2} +…) [/ matemáticas]

Factorizando [matemáticas] – \ frac {1} {\ pi ^ 2}, [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] – \ frac {1} {\ pi ^ 2} (1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} +…) [/ matemáticas]

Este es el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac {\ sin (x)} {x}. [/ Matemáticas] Pero si miramos la fórmula original, vemos que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] – \ frac {1} {3!} = – \ frac {1} {6} [/ matemáticas]

Resolviendo [matemáticas] – \ frac {1} {\ pi ^ 2} (1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} +…) = – \ frac {1} {6} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {\ pi ^ 2} (1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} +…) = \ frac {1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} +…) = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas] QED

Si está confundido acerca de cualquiera de los pasos realizados, deje un comentario y lo aclararé.

Answer 5

Una calle roja aleatoria en la ventana izquierda tiene un 50% de posibilidades de estar más cerca que una calle azul aleatoria en la ventana derecha. Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

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PRUEBA

La distribución de Cauchy.

Supuse que todas las calles están entre el horizonte (90 °) y la vertical (0 °), y que cada uno de los ángulos intermedios es igualmente probable. Y cuando selecciona aleatoriamente ese ángulo con la misma probabilidad, tenemos que las calles cercanas (pequeñas [matemáticas] \ color {azul} {X} [/ matemáticas]) tienen una mayor probabilidad de ser seleccionadas:

Esto es similar a cómo un rociador de jardín hace que la parte más cercana de una pared de ladrillos esté más húmeda que una parte más distante de esa pared:

La humedad de la pared sigue una distribución de Cauchy, que es la derivada de una función arcotangente:

[matemáticas] \ displaystyle P _ {\ color {blue} {X}} (\ color {blue} {x}) = \ frac {2} {\ pi (1+ \ color {blue} {x} ^ 2)} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P _ {\ color {red} {Y}} (\ color {red} {y}) = \ frac {2} {\ pi (1+ \ color {red} {y} ^ 2)} [/matemáticas]

Aquí, la distancia unitaria de [math] \ color {blue} {x} [/ math] y [math] \ color {red} {y} [/ math] es la altura del espectador sobre el suelo. Entonces, cuando [math] \ color {blue} {x} = 1 [/ math], el ángulo de visión en la ventana derecha es de 45 °.

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La relación de dos distribuciones Cauchy similares

Dado que tenemos un 50% de posibilidades de que la calle roja esté más cerca que la calle azul, tenemos la proporción de [matemáticas] \ color {rojo} {Y} [/ matemáticas] sobre [matemáticas] \ color {azul} {X } [/ math] que:

[matemáticas] P _ {\ left (T \ equiv \ frac {\ color {red} {Y}} {\ color {blue} {X}} \ right)} (t <1) = 0.5 [/ math].

Tenga en cuenta que esta relación [matemática] t [/ matemática] es la tangente del ángulo de visión derecho-izquierdo .

Esta distribución de razones de dos funciones Cauchy similares tiene la siguiente expresión:

[matemáticas] \ displaystyle P_T (t) = \ frac {4} {\ pi ^ 2} \ log \ left (\ frac {1} {t} \ right) (1 + t ^ 2 + t ^ 4 +…) [/matemáticas]

encontramos la suma de los ‘términos extraños’ del problema de Basilea:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ frac12 & = \ frac {4} {\ pi ^ 2} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ int_0 ^ 1 \ log \ left (\ frac {1} { t} \ right) t ^ {2k} dt \\ \ frac {\ pi ^ 2} {8} & = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ left. \ frac {t ^ {2k + 1}} {2k + 1} \ left (\ frac {1} {2k + 1} – \ log (t) \ right) \ right | _0 ^ 1 \\ \ frac {\ pi ^ 2} {8} & = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac1 {(2k + 1) ^ 2} \ end {align} [/ math]

Las líneas muestran las contribuciones acumuladas de los términos [matemáticas] 1, t ^ 2, t ^ 4, .. [/ matemáticas]

La suma completa [matemáticas] \ bf {\ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ ldots} [/ math]

Con la fórmula para la suma impar, la suma completa de Basilea se puede encontrar de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} & = \ frac {4} {3} \ left (\ frac {3} {4 } \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} \ right) \\ & = \ frac {4} {3} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} – \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} \ right) \\ & = \ frac {4} {3} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} – \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(2k) ^ 2} \ derecha) \\ & = \ small \ frac {4} {3} \ left (\ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots \ right) – \ frac {4} {3} \ left (\ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ frac {1} {6 ^ 2 } + \ cdots \ right) \\ & = \ frac {4} {3} \ left (\ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} { 5 ^ 2} + \ cdots \ right) \\ \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} & = \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ end {align} [/matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Espero que esto le ofrezca una perspectiva intuitiva sobre una solución del problema de Basilea.

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Basado en una prueba de Luigi Pace, como apareció en: ‘The American Mathematical Monthly’, agosto-septiembre de 2011, pp. 641-643

Answer 6

Aquí hay una interpretación intuitiva; No es una explicación o prueba.

Suponga que su automóvil se descompone en una carretera recta, plana y estrecha, de modo que se forma un atasco infinito detrás de su automóvil. Naturalmente, sales, abres el capó y comienzas a revisar el motor, pero todos los autos detrás de ti comienzan a tocar sus bocinas continuamente. Entonces el sonido de todos los cuernos parece [matemático] \ pi ^ 2/6 [/ matemático] tan fuerte como el claxon del automóvil detrás de usted.

De manera equivalente, supongamos que tenemos en el espacio exterior una cuerda recta, equidistante de cuentas macizas idénticas, y que la cuerda es infinitamente larga en un solo extremo. Entonces, la fuerza gravitacional ejercida por la cuerda en el cordón final, es [matemática] \ pi ^ 2/6 [/ matemática] multiplicada por la fuerza ejercida por el siguiente cordón.

Answer 7

Vaya secuencia equivocada. Mi respuesta se refiere a [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} k [/ matemáticas].

La imagen que me convenció fue

del archivo de Wikipedia: Sum1234Summary.svg – Wikimedia Commons

La forma en que pienso sobre estos problemas es “¿cómo podemos representar una serie infinita por un número?” Lo cual es bastante diferente de decir que evaluar la suma da un valor específico.

La imagen muestra las sumas parciales de la secuencia. S (1) = 1, S (2) = 1 + 2 = 3, S (3) = 1 + 2 + 3 = 6, … Ahora podemos ajustar una curva a través de estas series parciales y en algunos análisis podemos mostrarla se convierte en una cuadrática que corta el eje y como [math] \ frac {-1} {12} [/ math]. Puede realizar el mismo procedimiento para otras series y asignar números a series infinitas de manera consistente. Por ejemplo

a la suma 1 + 1 + 1 + … se le puede dar el valor -1/2.

Answer 8

Este problema se llama Besel Problema resuelto por Leonhard Euler en 1734. Esto se puede resolver fácilmente utilizando la identidad de Parseval de la Serie Fourier.

let, f (x) = x, – π

Por lo tanto,

Answer 9

Si bien la función Reimann Zeta es una forma bastante divertida e interesante de resolver este problema, no es intuitiva. La mejor solución al problema de Basilea (suma del recíproco de cuadrados) es la utilizada originalmente por Euler. Implica utilizar la expansión de Taylor de la curva sinusoidal, y es, en mi opinión, una de las pruebas / soluciones más elegantes en matemáticas. Adjunto un enlace a continuación donde puede leer esta solución.

El problema de Basilea y el triunfo de Euler

Answer 10

Aquí hay un corolario interesante de ese hecho: la probabilidad de que dos números aleatorios sean relativamente primos (es decir, sin factores compartidos) es igual a [math] \ frac {6} {\ pi ^ 2} [/ math]

La prueba es bastante sencilla, basada en la observación de que un número entero es divisible por el primo ‘p’ con probabilidad [matemática] \ frac {1} {p} [/ matemática]

Una intuición de por qué pi es más que una relación de circunferencia a diámetro.

La prueba de Ramanujan utiliza la observación de que [math] y = \ sen x [/ math] puede considerarse un ‘polinomio’ con raíces en [math] n \ pi [/ math], [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Por lo tanto, \ [math] sen x = x \ prod_ {n \ in \ mathbb {Z}} (1- \ frac {x} {n \ pi} [/ math])

Compare los coeficientes con la serie de Taylor para [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas], para obtener el resultado.

Answer 11

suma (1 / n ^ 2) = zeta (2) = pi ^ 2/6

ingrese su fórmula 1 / k ^ 2 en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón sum1inf para la solución, donde sum1inf significa suma de 1 a infinito

Answer 12

Aquí hay 14 pruebas de este hecho:

http://empslocal.ex.ac.uk/people …

Tal vez encuentre uno de ellos intuitivo (ha pasado un tiempo, pero estoy bastante seguro de que no lo hice).

Answer 13

No hay una respuesta simple e intuitiva. Le llevó mucho tiempo encontrarlo y necesita cálculo.

Pero aquí hay algo que podría extrañarte seriamente. El recíproco de este número es la probabilidad de que dos enteros elegidos al azar sean coprimos. Ver números enteros de Coprime – Wikipedia.

Aparte del hecho de que son el mismo número, hay muy pocos teoremas en matemáticas que hablan sobre las probabilidades de enteros seleccionados al azar.