Si [math] \ sin \ alpha = \ frac12 [/ math] ¿cuál es el valor de [math] \ alpha [/ math]?

Answer 1

Podemos usar algunas de las propiedades de un triángulo rectángulo para determinar el valor de [math] \ alpha [/ math].

1. [matemáticas] a = c [/ matemáticas] [matemáticas] sin \ alpha [/ matemáticas]
2. [matemáticas] a = c [/ matemáticas] [matemáticas] cos \ beta [/ matemáticas]
3. [matemáticas] b = c [/ matemáticas] [matemáticas] sin \ beta [/ matemáticas]
4. [matemáticas] b = c [/ matemáticas] [matemáticas] cos \ alpha [/ matemáticas]

Basado en 1, 2., 3. y 4. obtenemos las siguientes relaciones:

[matemáticas] sin \ alpha = cos \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] sin \ beta = cos \ alpha [/ matemáticas]

Usando la propiedad trigonométrica

[matemáticas] sin ^ 2 \ alpha + cos ^ 2 \ alpha = 1 [/ matemáticas]

podemos calcular el valor de [math] cos \ alpha [/ math]

[matemáticas] cos \ alpha = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Dado que [math] sin \ beta = cos \ alpha [/ math]

[matemáticas] sin \ beta = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Vamos a calcular

[matemáticas] 2 sin \ alpha cos \ alpha = 2 \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ math]

Basado en propiedades trigonométricas

[matemáticas] 2 sin \ alpha cos \ alpha = sin 2 \ alpha [/ matemáticas]

Dado que [math] \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ math] también es el valor de [math] sin \ beta [/ math]

podemos escribir

[matemáticas] sin 2 \ alpha = sin \ beta [/ matemáticas]

y, como consecuencia,

[matemáticas] \ beta = 2 \ alpha [/ matemáticas]

Considerando que la suma de todos los ángulos de un triángulo es [matemática] 180 ° [/ matemática]

podemos escribir

[matemáticas] 90 ° + \ alpha + \ beta = 90 ° + \ alpha +2 \ alpha = 90 ° +3 \ alpha = 180 ° [/ matemáticas]

Resolviendo para [math] \ alpha [/ math] el resultado es

[matemáticas] \ alpha = 30 ° [/ matemáticas]

Más en general, dado que la función seno es periódica, el valor [math] \ dfrac {1} {2} [/ math] se alcanza cuando

[matemáticas] \ alpha = 30 ° + k 360 ° [/ matemáticas]

donde k es un número entero.

Dedicado a mi hijo Maurizio

Answer 2

En primer lugar, α tiene un número infinito de valores

1. Consideremos 0 = <α = <2 π
2. dado que 0 = <α = <2 π , α solo tiene un valor (vea por qué Foto de Instagram por @nebulia • 19 de noviembre de 2016 a las 9:51 pm UTC)
3. ahora vamos a encontrar ese valor de α usando THE TABLE OF NATURAL SINES

Answer 3

Dado [matemática] \ sin (\ alpha) = 1/2 [/ matemática], recuerde que cada punto en el círculo unitario tiene coordenadas [matemática] (\ cos (\ alpha), \ sin (\ alpha)) [/ matemática ], entonces hay exactamente dos puntos en el intervalo [matemática] (0, 2 \ pi) [/ matemática] que satisfacen [matemática] \ sin (\ alpha) = 1/2 [/ matemática] (donde [matemática] \ sin (\ theta) [/ math] es la [math] y [/ math] -coordinada de puntos en el círculo unitario). Estos puntos son [matemática] (\ sqrt {3} / 2, 1/2) [/ matemática] y [matemática] (- \ sqrt {3} / 2, 1/2) [/ matemática]. Puede encontrar estos dos valores [matemáticos] \ alfa [/ matemáticos] por varios métodos, pero por simplicidad tenga en cuenta que

[matemáticas] \ sin (\ alpha) = 1/2 \ Rightarrow \ alpha = \ arcsin (1/2) = \ frac {\ pi} {6} [/ math]

Pero sabemos que el otro ángulo es el mismo, reflejado sobre el eje [matemático] y [/ matemático], por lo que el otro ángulo debe ser [matemático] \ pi – \ frac {\ pi} {6} = \ frac {5 \ pi} {6} [/ matemáticas].

Como esto es cierto en cada intervalo [matemáticas] (0 + 2 \ pi k, 2 \ pi + 2 \ pi k) [/ matemáticas] tenemos que

[matemáticas] \ alpha = \ {\ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi k, \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \}, [/ matemáticas] para todas [matemáticas] k \ in \ mathbb {Z}. [/ math]

Answer 4

α = 30 grados o π / 6.

Sin embargo, también podría ser de 150 grados o 5 π / 6.

Si no se da un dominio particular, la respuesta sería (30 grados +36

0n) o (150 grados + 360n), donde n es cualquier número entero real.

El seno es opuesto / hipotenusa. Como lo opuesto en un ángulo de 30 grados es 1 y la hipotenusa es 2, sin (30 grados) = 1/2.

Sin embargo, el seno también es positivo en el segundo cuadrante, por lo que debe haber una respuesta en el segundo cuadrante. Para encontrar esto, encontramos el ángulo de referencia, el ángulo desde el lado terminal al eje x. En este caso, es de 30 grados.

Como la respuesta debe estar en el segundo cuadrante, restamos 30 grados de 180 grados: 180-30 = 150 grados, que es la segunda respuesta.

Answer 5

[math] \ frac {\ pi} {6} + 2k \ pi [/ math] con [math] k \ in \ mathbb {Z}, [/ math] que son valores reales.

Answer 6

Tan sencillo,

sen α = 1/2 ,

sin α = sin 30 ° ,

entonces el valor de α sería = 30 °

Answer 7

pi / 6 o 5pi / 6

Answer 8

sin alfa = 1/2

sin (30) = 1/2

Por lo tanto alfa = 30 grados