Trabajaré en una pregunta similar.
¿La serie [math] a_n = | 1 / (n \ sin (n)) | [/ math] está limitada?
¿Qué es [matemáticas] | \ sin (n) | [/ matemáticas]? Encontramos primero q, tal que [math] q. \ Pi [/ math] está más cerca de [math] n [/ math] y [math] | \ sin (n) | [/ math] es igual a [math] | \ sin (nq \ pi) | .[/matemáticas]
Limitaremos nuestra prueba a n, para lo cual [math] \ sin (n) <1/2 [/ math]. Para estos n, donde [math] \ sin (n) \ ge 1/2 [/ math] la serie está claramente delimitada.
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La desigualdad bien conocida sobre el pecado (x) dice: [matemáticas] \ sin (x) <x <\ tan (x). [/ Matemáticas]
Si [math] \ sin (x) \ sqrt (3) / 2 [/ math] y [math] x <\ t [/ math ] [matemática] an (x) <2 \ sin (x) / \ sqrt (3) [/ matemática]
Entonces (si [matemáticas] \ sin (n) | nq \ pi | \ sqrt (3) / 2 [/ math]
Entonces tenemos que decidir, si la serie:
[matemáticas] 1 / | n (nq \ pi) | [/ matemáticas] está acotado.
Llevaré [math] q [/ math] al frente:
Es la serie:
[matemáticas] 1 / | nq (n / q- \ pi) | [/ matemáticas] acotado?
n va al infinito, q se define como un número natural, para el cual [matemática] n / q [/ matemática] está más cerca de [matemática] \ pi, [/ matemática] (en valor absoluto).
Entonces, todo esto se trata de la precisión (rapidez) que podemos aproximar [matemática] \ pi [/ matemática] por número racional [matemática] n / q [/ matemática].
Tiene que ver con la medida de irracionalidad de [math] \ pi [/ math].
Edición importante: (anteriormente incorrecto)
La medida de irracionalidad de [math] \ pi [/ math] es al menos 2.
Implica para cualquier (pequeño) [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas]> 0
[matemáticas] | (n / q- \ pi) q ^ 2 | > 1 / q ^ \ epsilon [/ math] (para cualquier n, q desde algún número n)
n> q, entonces
[matemáticas] | nq (n / q- \ pi) | > | (n / q- \ pi) q ^ 2 | > 1 / q ^ \ epsilon [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 / | nq (n / q- \ pi) | <1 / q ^ \ epsilon [/ math]
¿Podría esto ser ilimitado?
Si no está acotado, establecemos el umbral K y encontramos algo de n, de modo que
[matemáticas] K <a_n = | 1 / (n \ sin (n)) | [/ matemáticas]
Pero sabemos
[matemáticas] a_n = | 1 / (n \ sin (n)) | <1 / | nq (n / q- \ pi) | <1 / q ^ \ epsilon [/ math]
Y podemos establecer [math] \ epsilon [/ math] arbitrariamente pequeño, así que para q (que equivale a [math] n / \ pi [/ math]) hacemos
[matemáticas] 1 / q ^ \ epsilon [/ matemáticas] más pequeño que K. Contradicción.
Está acotado.
Para [math] \ cos (n) [/ math], la idea es la misma, el álgebra es un poco más molesto.
Fuentes:
Medida de irracionalidad