De la formulación de su pregunta infiero que [matemáticas] A [/ matemáticas] es continua, de modo que el concepto de sus divisiones por infinitesimales tiene sentido.
Sin pérdida de generalidad, suponga que [matemáticas] A = [a; b] [/ math], donde [math] a, b \ in \ R, a \ ne b [/ math].
Si dividimos [math] A [/ math] en [math] \ Delta x [/ math] -sized [math] n [/ math] particiones, obtenemos:
[matemáticas] n = \ frac {ba} {\ Delta x} [/ matemáticas].
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En caso de divisiones infinitesimales obtenemos:
[matemáticas] n = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {ba} {\ Delta x} [/ matemáticas].
Obviamente, dado que [math] a \ ne b [/ math], [math] n \ to \ infty [/ math].
Entonces la pregunta es, ¿qué clase de infinito es ese?
Sabemos que hay muchos tipos de infinitos: [math] \ aleph_0, \ aleph_1, …, \ aleph_m [/ math]; y el más pequeño de ellos es [math] \ aleph_0 [/ math], que es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales: [math] \ N [/ math]. [math] \ aleph_1 [/ math] es la cardinalidad del conjunto de todos los números reales: [math] \ R [/ math]; y es igual a: [math] \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math], como sigue del argumento diagonal de Cantor.
Por el mismo argumento, cualquier intervalo [matemáticas] [a; b] \ subseteq \ R [/ math] contiene un número incontable de elementos, y su cardinalidad es igual a [math] | \ R | [/ math].
El concepto de infinitesimales surge cuando la distancia entre 2 puntos distintos en el eje real se aproxima a [matemática] 0 [/ matemática]:
[matemáticas] \ lim_ {x_0 \ a x_1} (x_1 – x_0) [/ matemáticas], donde [matemáticas] x_1, x_0 \ en [a; b] [/ math] (en general [math] \ in \ R [/ math]). [matemáticas] x_1 \ ne x_0 [/ matemáticas]
La continuidad de [math] \ R [/ math] implica que entre cualquier [math] 2 [/ math] puntos distintos en [math] \ R [/ math] siempre se puede encontrar otro punto distinto de los últimos.
Por otro lado, la hipotética distancia infinitesimal se puede concebir como la distancia que no abarca ningún otro punto intermedio.
Por lo tanto, al dividir el continuo [matemáticas] [a; b] [/ math] en intervalos infinitesimales:
[matemáticas] \ delta x = \ lim_ {x1 \ a x0} (x_1 – x_0), [/ matemáticas] donde [matemáticas] x_0, x_1 \ en [a; b], x_0 \ ne x_1 [/ math],
se puede dar un mapeo biyectivo [math] f [/ math] entre cada infinitesimal y su origen: [math] f: x_i \ mapsto (x_i + \ delta x) [/ math].
Entonces, el número de infinitesimales es igual al número de orígenes, es decir, el número de puntos en [matemáticas] [a; b] [/ matemáticas].
Por lo tanto, denotando el conjunto de los infinitesimales en cuestión [matemáticas] I [/ matemáticas], su cardinalidad es igual a la cardinalidad de [matemáticas] [a; b] [/ math], que a su vez es igual a la cardinalidad de [math] \ R [/ math]:
[matemáticas] | I | = | \ R | = \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]