¿Cuál es el valor más bajo posible de entero [matemáticas] a [/ matemáticas], si [matemáticas] 9999 <a <100000 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3a + a / 2 + a / 5 + a / 9 = x ^ 3 [/ math] donde [math] x [/ math] también es un número entero?

La ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ frac {343a} {90} = x ^ {3} [/ matemáticas]

O [matemáticas] \ frac {7 ^ {3} a} {90} = x ^ {3} [/ matemáticas]

Para que LHS sea un cubo perfecto, como mínimo [math] a = 90 [/ math], y cada vez que [math] a = 90p ^ {3} [/ math], donde p es un entero, el LHS Sé un cubo perfecto.

Además, con el intervalo en [matemática] a [/ matemática], las siguientes retenciones:

[matemáticas] 38108 <LHS <381111 [/ matemáticas]

O [matemáticas] 34 ^ {3} <LHS <72 ^ {3} [/ matemáticas]

Ahora todo lo que tiene que hacer es agregar valores de [math] p [/ math] y obtener el LHS que se encuentra en el rango deseado.

Editar:

También puede encontrar [math] p [/ math] desde aquí:

[matemáticas] 34 ^ {3} <LHS <72 ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 34 ^ {3} <343p ^ {3} <72 ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 34 ^ {3} <(7p) ^ {3} <72 ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3a + \ frac {a} {2} + \ frac {a} {5} + \ frac {a} {9} = x ^ 3 [/ matemáticas]

es equivalente a

[matemáticas] 3a + \ frac {45a} {90} + \ frac {18a} {90} + \ frac {10a} {90} = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {270a + 45a + 18a + 10a} {90} = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {343a} {90} = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {7 ^ 3 a} {90} = x ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces sabemos que [math] \ frac {a} {90} [/ math] tiene que ser un número cúbico. Como

[matemáticas] a \ gt 9999 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a} {90} \ gt \ frac {9999} {90} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a} {90} \ gt 111.1 [/ matemáticas]

El entero cúbico más pequeño mayor que 111.1 es

[matemáticas] 125 = 5 ^ 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] a = 125 \ veces 90 = 11250 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] x = 7 \ veces 5 = 35 [/ matemáticas]

3a + (a / 2) + (a / 5) + (a / 9)

= (a / 90) (270 + 45 + 18 + 10)

= (a / 90) (343)

= (a × 7³) / 90

∴a / 90 debe ser un cubo perfecto

debe ser 90 veces de un cubo perfecto

Pero 9,999 <90 veces de ese cubo en particular <100,000

Ahora 90 × 4³ = 5,700; 90 × 5³ = 11.250; 90 × 6³ = 19.440

el más pequeño es 11,250