¿Es [math] \ sin ^ {- 1} (x) [/ math] una función?

Answer 1

Las convenciones de tipeo varían, pero algunos autores usan [matemáticas] x = \ arctan (t) [/ matemáticas] para cualquier solución a [matemáticas] \ tan x = t [/ matemáticas] y [matemáticas] \ textrm {Arctan} (t) [/ math] para el valor principal de la tangente inversa, casi siempre definido para tener rango [math] (- \ pi / 2, \ pi / 2), [/ math] primer o cuarto cuadrante, coseno positivo.

Entonces, bajo esta convención de tipeo, [math] \ arctan (x) [/ math] no es una función, es multivalor como usted dice. [math] \ textrm {Arctan} (x) [/ math] es una función, que produce un valor único para cualquier entrada real.

Similar para arcsin y Arcsin, y el rango de valores principales [matemática] [- \ pi / 2, \ pi / 2]. [/ Matemática] A diferencia de Arctan, este intervalo está cerrado en ambos extremos. A diferencia de arctan y Arctan, arcsin y el dominio de Arcsin no es ningún número real; debe ser un seno válido del intervalo cerrado [matemática] [- 1,1] [/ matemática]. [math] \ textrm {Arcsin} (x) [/ math] es una función durante ese intervalo, [math] \ arcsin (x) [/ math] no es porque sea multivalor.

Para Arccos, el valor principal varía [matemática] [0, \ pi], [/ matemática] primer o segundo cuadrante, seno no negativo.

Una edición pregunta sobre [math] \ sin ^ {- 1} (x). [/ Math] Anotado de esa manera, que no me gusta, lo considero igual que [math] \ arcsin (x); [/ matemáticas] no es una función, una expresión multivalor.

Answer 2

Es una función implícita, lo que significa que se puede diferenciar e integrar. Sin embargo, y = sin ^ (- 1) (x) es una función verdadera solo para y ∈ [- / 2, / 2]