Cómo visualizar álgebra abstracta básica

Answer 1

Primero, debes entender que el álgebra es realmente geometría, y la capacidad de visualizar las relaciones algebraicas no es solo incidental, es la verdadera comprensión del álgebra. Los números no son solo valores abstractos, tienen relaciones ordenadas como en las relaciones espaciales en la recta numérica. Operaciones en números, suma, resta, multiplicación, estas son operaciones espaciales en estructuras espaciales. La multiplicación discreta es la suma repetida. Pero hay una versión analógica de la multiplicación que es como la amplificación. Para comprender la función exponencial, visualice un objeto a t = 0 altura = 1 (elija sus unidades) y aumente a una velocidad de una unidad / seg. A partir de ese momento, su tasa de aumento sigue siendo idénticamente igual a su altura. A la altura 2 se eleva a 2u / seg, a 3 es 3u / seg, y así sucesivamente. Ahora mirando hacia el pasado, hace un tiempo infinito el objeto estaba en altura cero, cuando comenzó a elevarse a una velocidad infinitesimal tan lentamente, pero cada vez más rápido, que llega a la altura 1 en t = 0 donde comenzamos. En cuanto a la raíz cuadrada de -1, aprenda de Clifford Algebra que esto es solo una multiplicación rotacional de 90 grados, porque si lo aplica dos veces seguidas, termina apuntando hacia el otro lado, porque la rotación de 180 grados == negación.

Clifford Algebra, el avance más significativo en matemáticas del que (virtualmente) NADIE ha oído hablar, demuestra cómo todo el álgebra es una rama de la geometría, y ofrece formulaciones alternativas para las operaciones confusas del álgebra lineal que de repente hacen que todo sea más intuitivo. Echa un vistazo a mi…

Álgebra de Clifford: una introducción visual

Answer 2

Piensa en ejemplos. Feynman escuchaba a alguien que proponía una teoría e imaginaba un ejemplo simple y luego hacía preguntas cuando la teoría se apartaba de su ejemplo. La gente todavía lo venera como un genio.

Obtenga una buena cantidad de ejemplos con los que se sienta cómodo, utilícelos repetidamente a medida que revisa sus definiciones y pruebas. Es posible que deban ajustarse para que se ajusten a las nuevas definiciones.

Para imágenes reales, intente trabajar con acciones lineales en R ^ n. Para empezar, mire valores propios y vectores propios. Ver lo que sucede con la base de R ^ n deja en claro dónde están esos valores.

No todo el Álgebra se traduce en Geometría, pero ahí es donde su zoológico de ejemplos ayudará.

Answer 3

Creo que puedes visualizar los conceptos de la forma que más te ayude. Si realmente comprende el concepto (digamos, de un grupo) en lugar de confiar simplemente en conocer las palabras en la definición, entonces la visualización viene de forma gratuita, al menos para mí y para muchos otros que conozco.

Y estoy usando la palabra “visualización” libremente. Realmente, uno probablemente no puede visualizar un grupo de manera concreta, pero sí de manera abstracta. Si pensamos, por ejemplo, en el grupo de enteros módulo 7 además, podemos pensar en este objeto como un reloj con 7 muescas, y cuando el reloj pasa de 7 comienza de nuevo en 1. Quizás prefiera pensar en [ math] \ mathbb {Z} _ {7} [/ math] como un desorden finito de puntos, y cuando dos puntos se juntan (además), se convierten en otro punto en el desorden.

De todos modos, el punto es que cuando te familiarizas mucho con las definiciones y haces muchos ejemplos, generalmente comienzas a tener una idea de las cosas, y luego la visualización viene con eso. Espero que esto ayude.

Answer 4

Hmm, estoy de acuerdo en que cuando entiendes algo, las cosas se vuelven fáciles de visualizar, pero primero debes recordar que la abstracción del álgebra nos ayuda a no dejarnos engañar por nuestra visualización, que puede ser imperfecta (prueba alguna topología algebraica y tú) veré lo que quiero decir) Sin embargo, creo que se pueden dibujar diagramas, por ejemplo, siempre me gusta dibujar muchos círculos redondos que puedan representar, por ejemplo, clases de equivalencia bajo una acción grupal, etc. y me pregunto qué elementos están en esta equivalencia imaginándolos a veces como Mesas redondas en las que los elementos del grupo están sentados y tratan de moverse alrededor de cada silla en la mesa pero no pueden moverse. Incluso puedo imaginar decir, a veces, elementos “jugando a atrapar” y veo qué elementos (o funciones o acciones del módulo etc) capturar un conjunto distinguido de elementos. Pero descubrí que esta técnica fue particularmente útil en la teoría de grupos (de hecho, en mi propio resumen de la teoría de grupos, algunas de mis pruebas se redujeron básicamente a dibujar pequeños círculos y / o elementos que se atrapaban entre sí). Aunque cuando domine la teoría de grupos, Pensé menos en las mesas y sillas, pero a veces me ayuda cuando me enfrento a algo que es difícil de concretar. Espero que esto ayude (no estoy seguro si esto cuenta como visualización)

Answer 5

¡Lo estás haciendo mejor que yo! El nivel de abstracción requerido es quizás el dilema que tienes. Perseverar.