¿Por qué [math] \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ math] tiene soluciones reales?

La cuestión es que la función [math] \ tan (x) [/ math] es asintótica al infinito para [math] x \ to n \ pi \ pm \ frac {\ pi} {2} \ forall n \ in \ Z [/matemáticas]. Esto se debe a que [math] \ tan (x) = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}. [/ Math] A medida que [math] x [/ math] se acerca a [math] n \ pi \ pm \ frac {\ pi} {2} [/ math], [math] \ sin (x) [/ math] se acerca a [math] \ pm 1 [/ math] [para los valores correspondientes de x] mientras que [math] \ cos (x) [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math] y, por lo tanto, [math] \ tan (x) [/ math] se acerca al infinito negativo o positivo [nuevamente, para diferentes valores de [math] x [ / math], pero eso no es relevante aquí]. Ahora, formalmente:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a n \ pi \ pm \ frac {\ pi} {2}} \ tan (x) = \ pm \ infty [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ lim_ {x \ to n \ pi \ pm \ frac {\ pi} {2}} \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ math]

Sin embargo , es muy importante tener en cuenta que [math] \ frac {1} {\ tan (x)} [/ math] solo es asintótico a [math] 0 [/ math] y nunca lo alcanza. No hay soluciones reales (o complejas) para la ecuación [matemáticas] \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ matemáticas]. Pero esta es la razón por la cual el gráfico hace que parezca que hay.

¡Espero que esto te ayude!

La ecuación [matemáticas] \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ matemáticas] no tiene ninguna solución real. En general, una ecuación que se parece a “[matemáticas] 1 [/ matemáticas] sobre lo que sea igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]” nunca tiene una solución en números reales, ya que no hay “lo que sea” que haga esto verdadero.

Puede estar confundido porque cree que [math] \ frac {1} {\ tan (x)} [/ math] y [math] \ cot (x) [/ math] son ​​lo mismo. Ellos no están. Son iguales siempre que ambos estén definidos, pero el dominio de [math] \ cot (x) [/ math] incluye [math] \ pi / 2 [/ math] mientras que el dominio de [math] \ frac {1} { \ tan (x)} [/ math] no.

Cada vez que vea alguna función, o alguna expresión, debe preguntarse: ¿cuál es el dominio? ¿Dónde se define esa cosa? Para dar un ejemplo más simple, compara las expresiones

[matemáticas] x + 1 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ frac {x ^ 2-1} {x-1} [/ matemáticas].

Son iguales para casi todos los valores de [math] x [/ math], pero el primero tiene el valor [math] 2 [/ math] en [math] x = 1 [/ math] mientras que el último no tiene ningún valor en ese punto: está fuera del dominio de la definición.

Por lo tanto, la ecuación [matemáticas] x + 1 = 2 [/ matemáticas] tiene una solución, mientras que la ecuación [matemáticas] \ frac {x ^ 2-1} {x-1} = 2 [/ matemáticas] no. Es lo mismo con [math] \ cot [/ math] y [math] 1 / \ tan [/ math].

Mira, debes darte cuenta de que infinito y cero, ambos son símbolos y no números. Este valor, 1 / tan (x) tiende a CERO como tan (x) tiende a INFINITO. ¡Nunca son exactamente cero o exactamente infinitos, ya que ambos son términos indefinidos!

Además, lo aproximamos a cero ya que LHS es infinitamente pequeño cuando x es infinitesimalmente mayor o menor que 90 grados + n.Pi.

1 / tan (x) = cotg (x)

Cotg (x) = cos (x) / sen (x)

cos (x) = 0 a 90 ° (pi / 2) más cualquier múltiplo de 180 (pi).

y dado que en esos ángulos | sen (x) | = 1, la función está definida.

No tiene ninguna solución real. Cuando x se acerca a [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} \ pm n \ pi [/ matemáticas], tanx se acerca al infinito, por lo que el lado izquierdo se acerca a 0, pero no hay un valor real de x para el que se mantenga la igualdad exacta .

Para ser exactos, estoy diciendo que [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ pm (n \ pi + \ pi / 2)} \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ matemáticas], pero no existe una x real tal que [matemática] \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ matemática].

La razón por la que parece que su gráfico tiene una solución es que no hay un límite inferior de lo cerca que el LHS puede llegar a cero, por lo que ahora no importa cuánto se acerque, imagino que la mayoría de las herramientas gráficas mostrarán que la línea toca cero.

Algunas de las soluciones anteriores utilizaron límites en un problema de ecuación. La ruta para ver correctamente este problema es ver tan (X) como la relación de seno (X) sobre coseno (X). Así, 1 / tan X se convierte en cos X / sinX. Esta relación es cero siempre que cosX también sea igual a cero, por lo tanto, múltiples soluciones en π / 2 ± nπ. De nuevo, no es un problema de límite. Por lo tanto, soluciones reales.

Mientras que [math] \ frac {1} {0} [/ math] no está definido, por definición (¿ves lo que hice allí?):

[matemáticas] 1 / \ tan (x) = \ cot (x) [/ matemáticas]

que comparte sus ceros con la función [math] \ cos (x) [/ math] en [math] x = \ pi / 2 + n \ pi, n \ in \ mathbb {Z} [/ math].

No hay soluciones reales, 1 sobre cualquier cosa nunca equivaldría a cero.

1 / tan (x) es igual a cot (x) con la condición de que ambos valores estén definidos, pero debido a que tan (x) está en el denominador de la función, no hay soluciones reales.

Podríamos encontrar el valor x donde el límite de (1 / tan (x)) es igual a cero.

Para hacer esto, podríamos resolver la ecuación regularmente “simplificando” 1 / tan (x).

(1 / tan (x)) es una identidad trigonométrica .

(1 / tan (x)) = cot (x) . Entonces puedes simplificar la mitad izquierda de la ecuación a cot (x)

… Ahora tenemos la ecuación cot (x) = 0 .

Si observa, cot (x) también se puede reescribir como (cos (x) / sin (x)) .

estableceríamos esta nueva fracción cos (x) / sin (x) = 0 .

El primer paso para resolver x sería hacer que el numerador [cos (x)] sea igual a 0 .

… Cos (x) = 0. → acos (0) = x {arccos o cos ^ -1 son los inversos de la función coseno} .

Al resolver esto, podría obtener pi / 2 y 3pi / 2 (-pi / 2) .

Sin embargo, no se nos da un intervalo de [0,2pi], y 2pi sería una rotación completa de un círculo unitario … por lo que podríamos dejar la respuesta como (pi / 2) + 2pik donde k es una constante porque la rotación de la círculo podría ser una cantidad infinita de veces, por lo que no hay intervalo.

Entonces podríamos decir que x se acerca a pi / 2, -pi / 2, (pi / 2) + 2pik, 2pik-pi / 2 ya que el límite de (1 / tan (x)) es igual a cero . Después de una rotación completa, usted es el mismo lugar, y no hay forma de medir cuántas rotaciones completas hay porque no hay un intervalo dado, k representa la constante de cuántas rotaciones tienen lugar .

Consejo: Es bueno en matemáticas asegurarse de que todos los valores se simplifiquen antes de intentar responder una pregunta matemática.

Las soluciones reales no, incluso en la línea real extendida, el límite de tan (x) en el infinito no existe en el sentido convencional de considerar que existe un límite cuando es un número real (en funciones reales de variables reales), pero ni teniendo en cuenta [matemáticas] ± ∞ [/ matemáticas]

credibilidad (científica) pendiente: porque el tan (x) es continuo alrededor de x = 0 y los límites x → ± 0 se pueden encontrar

más: Línea de números reales extendida – Wikipedia

No, no habría ninguna solución real. Recuerde, esto sería cierto cuando vea cualquier ecuación en la forma ‘1 / x = 0’.

Espero que esto sea útil!

Sencillo,

No tiene soluciones reales.