¿Por qué las estructuras algebraicas se escriben y definen como tuplas, no conjuntos?

Answer 1

Las otras respuestas aquí son buenas. Por supuesto, todas las declaraciones en matemáticas convencionales se desglosan en declaraciones en ZFC, incluidas las tuplas ordenadas [matemáticas] n [/ matemáticas] definidas como conjuntos.

Pero, el panorama general es que muchas de las estructuras algebraicas que les interesan a los matemáticos no necesitan definirse como pares ordenados. Podemos definir grupoides, magmas, monoides, grupos, anillos, módulos, campos, espacios vectoriales, etc. con la notación de pares ordenados, pero, como señala David Joyce, estos son realmente solo conjuntos dotados de alguna estructura adicional en el forma de una o más operaciones que se rigen por ciertos axiomas como la asociatividad. Cualquiera que insista en definir estas estructuras como [math] n [/ math] -tuples y no reconozca la definición del conjunto como moralmente equivalente es simplemente ser un pedante. Es como insistir en que escribamos todas las operaciones binarias como funciones, porque después de todo una operación binaria es un mapeo [math] \ star: G \ times G \ to G [/ math]; entonces, deberíamos escribir [matemáticas] 1 + 2 = 3 [/ matemáticas] como [matemáticas] + (1,2) = 3 [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Escribir estructuras algebraicas como conjuntos ordenados puede ser útil. A menudo es conveniente evitar el abuso común de la notación de etiquetar un conjunto y una estructura algebraica con el mismo símbolo, por lo que podríamos escribir un grupo [math] G [/ math] con el conjunto subyacente [math] \ mathcal {G} [ / math] y la operación [math] \ cdot [/ math] como [math] G: = (\ mathcal {G}, \ cdot) [/ math] para este propósito. Del mismo modo, algunas estructuras, como muchas que se encuentran en geometría, tienen un uso natural para las notaciones ordenadas.

Answer 2

En primer lugar, muchas estructuras algebraicas se definen como conjuntos. Si toma, por ejemplo, la teoría de conjuntos ZFC como su sistema fundamental, entonces todo es un conjunto.

Aquí hay un ejemplo simple de la utilidad de las tuplas en lugar de los conjuntos. Si queremos modelar el movimiento en un plano plano bidimensional, generalmente usamos [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], que puede definirse como el conjunto de 2-tuplas de números reales. Entonces [matemáticas] (1,5) \ neq (5,1) [/ matemáticas]. Esto es importante, ya que la primera entrada representa el movimiento en una dirección (piense: este-oeste) y la segunda describe el movimiento en otra (piense: norte-sur). Entonces, una forma de pensar por qué queremos tuplas ordenadas en lugar de conjuntos ordenados es el hecho de que los siguientes dos conjuntos de direcciones no son equivalentes:

• caminar una milla al este, luego cinco millas al norte
• caminar cinco millas al este, luego una milla al norte

¿No convencido? Solo trata de seguir el segundo conjunto de instrucciones que comienzan cuando estás a tres millas al oeste de una playa.

Answer 3

Por ejemplo, un grupo se puede definir como un conjunto [matemático] A [/ matemático] equipado con una operación binaria [matemático] * [/ matemático] en [matemático] A [/ matemático] que satisface ciertas propiedades.

Algunos autores dirán que un grupo es un par ordenado cuyo primer elemento es un conjunto [matemático] A [/ matemático] y cuyo segundo elemento es la operación binaria [matemático] * [/ matemático] en [matemático] A [/ matemático] que Satisface ciertas propiedades. Eso es simplemente exceso de pedantería.

Answer 4

¿Por qué las estructuras algebraicas se escriben y definen como tuplas, no conjuntos?

Las tuplas están ordenadas, mientras que los conjuntos no.

En la mayoría de las estructuras algebraicas, las cosas que se definen son distintas, por lo que el orden importa. Por ejemplo, un campo, [math] \ langle \ mathbb F, +, \ cdot \ rangle [/ math], define dos operaciones binarias, suma y multiplicación, sobre el conjunto, [math] \ mathbb F [/ math]. ¡Confundir tu multiplicación con tu suma no sería algo bueno!

Peor aún, confundir una operación binaria con el conjunto de elementos previsto para el campo provocaría el caos 🙂

Las tuplas pueden, por supuesto, definirse en términos de conjuntos. Por ejemplo, [matemáticas] \ langle a, b \ rangle \ equiv \ {\ {a \}, \ {a, b \} \} [/ matemáticas] pero ¿quién querría hacer eso cada vez? Eso sería como reducir cada expresión aritmética a su modelo en ZFC para calcular [matemáticas] 2 + 3 = 5 [/ matemáticas]: teóricamente posible pero prácticamente loco in

Answer 5

Las llaves indican un objeto matemático específico (el conjunto, como usted menciona). Tener el conjunto y la operación (presumiblemente A es un conjunto y * una operación) como conjunto no tiene mucho sentido semántico porque realmente no hay ninguna relación estructural entre A y *. Para relacionarlos sin confundir su relación, usamos cualquier cosa menos corchetes para asociarlos; He visto tanto parens como corchetes angulares utilizados para esto.