Como ha expresado la distribución de [math] X [/ math] como PMF, creo que está hablando de una variable aleatoria discreta.
Se da que [matemáticas] F_X (k) = P (X = k) = \ begin {cases} \ dfrac {c} {k (k + 1)} & \ quad \ text {if} k \ text {is un número entero y} k \ ge 2 \\ 0 & \ quad \ text {de lo contrario} \\ \ end {cases} [/ math]
Por lo tanto, cada número entero [math] k \ ge 2 [/ math] forma un soporte de [math] X [/ math].
Para ser un PMF válido, la función [matemática] F_X [/ matemática] debe cumplir las dos condiciones siguientes:
- ¿Hay un entero conocido x para que x (pi) sea igual a otro entero?
- ¿Por qué [matemáticas] a ^ 3b ^ 5 [/ matemáticas] puede ser un factor de [matemáticas] 11a ^ 3b ^ 5 [/ matemáticas]?
- Cómo probar esta relación simétrica
- ¿De qué manera poner una canica blanca de la urna izquierda a la urna derecha aumenta dramáticamente la probabilidad de dibujar canica blanca?
- ¿Por qué [math] \ frac {1} {\ tan (x)} = 0 [/ math] tiene soluciones reales?
[math] (1) [/ math] [math] F_X (x) \ ge 0 [/ math] por cada [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math].
[matemáticas] (2) [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty F_X (k) = 1 [/ matemáticas] .es decir, [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty P (X = k) = 1 [/ matemáticas].
Para satisfacer [math] (1) [/ math] debemos tener [math] P (X = k) = \ dfrac {c} {k (k + 1)} \ ge 0 [/ math] para cada [matemáticas] k \ ge 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto tenemos [math] c \ ge 0 [/ math].
Para satisfacer [math] (2) [/ math], debemos tener [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty P (X = k) = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ dfrac {c} {k (k + 1)} = 1 [/ matemáticas].
Considere la suma [matemática] S: = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ dfrac {c} {k (k + 1)} [/ math].
Tenemos [matemáticas] S = c \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ dfrac {1} {k (k + 1)} = c \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ left ( \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k + 1} \ right) [/ math].
Por la propiedad telescópica, tenemos [math] S = c \ dfrac {1} {2} [/ math].
Por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ \ infty P (X = k) = 1 [/ matemáticas] implicaría que [matemáticas] S = c \ dfrac {1} {2} = 1 [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] c = 2 [/ matemáticas].
Ahora, para especificar el CDF de [math] X [/ math], puede argumentar de la siguiente manera.
Como el soporte de [math] X [/ math] es el conjunto [math] \ {k \ in \ mathbb {N}: k \ ge 2 \} [/ math], tenemos
[matemática] P (X \ le x) = P (X \ le \ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor) [/ math] donde [math] \ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor [/ math ] denota el mayor entero menor o igual que [math] x [/ math].
Por lo tanto, tenemos [matemáticas] P (X \ le x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor} \ dfrac {c} {k (k + 1)} = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor} \ dfrac {2} {k (k + 1)} [/ math].
Pero tenemos [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor} \ dfrac {2} {k (k + 1)} = 2 \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor} \ left (\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k + 1} \ right) = 2 \ left (1- \ dfrac {1} {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor + 1} \ right) [/ math].
Por lo tanto, el CDF de [math] X [/ math] viene dado por [math] P (X \ le x) = 2- \ dfrac {2} {\ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor + 1} [ /matemáticas].
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]