¿Hay un entero conocido x para que x (pi) sea igual a otro entero?
Suponiendo que ” x (pi) ” está destinado a ser [math] x \ cdot \ pi [/ math], solo hay un múltiplo entero de pi que es en sí mismo un entero:
[matemáticas] 0 \ cdot \ pi = 0 [/ matemáticas]
Sin embargo, si la redacción de la pregunta de ” otro entero ” se entiende como un entero distinto,
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[matemática] x \ cdot \ pi = y [/ matemática], [matemática] x \ neq y [/ matemática], [matemática] \ {x, y \} \ subconjunto \ Z [/ matemática]
Entonces no hay soluciones.
Esto se prueba fácilmente por contradicción:
Deje [math] x \ cdot \ pi = y [/ math]
Caso [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] :
[matemática] 0 \ cdot \ pi = 0 [/ matemática] (Una solución válida, como arriba)
Caso [matemática] x \ neq 0 [/ matemática] :
Suponga que [math] \ {x, y \} \ subset \ Z [/ math] (el conjunto de enteros)
[matemáticas] x \ cdot \ pi = y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ a \ pi = \ frac {y} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto \ pi \ in \ Q [/ matemáticas] (el conjunto de racionales)
Sin embargo, [math] \ pi \ notin \ Q [/ math], por lo que hemos encontrado una contradicción con nuestros supuestos iniciales.
Para una prueba de [matemáticas] \ pi \ notin \ Q [/ matemáticas] (la irracionalidad de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]) consulte Prueba de que π es irracional – Wikipedia.