No debería ser demasiado difícil demostrar que existe exactamente una solución real, y que esta solución es irracional. Mostraré lo mismo para una ecuación similar, tal vez pueda usar métodos similares para resolver su problema.
Lema 1: Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son dos números racionales no enteros, entonces la cantidad [matemática] a ^ b [/ matemática] no es un entero.
Prueba: Sea [matemática] a = a_0 / a_1 [/ matemática] y [matemática] b = b_0 / b_1 [/ matemática], donde [matemática] a_0 [/ matemática] y [matemática] b_0 [/ matemática] son enteros , y [math] a_1 [/ math] y [math] b_1 [/ math] son enteros mayores que uno. También requerimos que ambos estén en forma reducida (relativamente primo). Suponga, por contradicción, que [matemáticas] a ^ b \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas].
[matemáticas] (a_0 / a_1) ^ {b_0 / b_1} \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]
[math] (a_0 / a_1) ^ {b_0} \ in \ mathbb {Z} [/ math], elevando cada lado a la potencia [math] b_1 [/ math].
[matemáticas] \ frac {a_0 ^ {b_0}} {a_1 ^ {b_0}} \ en \ mathbb {Z} [/ matemáticas]
Está claro que esto no puede ser, ya que la parte superior e inferior de la fracción son relativamente primos, y dado que la parte inferior no es una, no es entera.
El teorema: deje que se dé un número racional [math] y [/ math] que no sea un entero. Además, encuentre la solución [matemática] x [/ matemática] a la ecuación [matemática] y = x ^ x [/ matemática]. Entonces [math] x [/ math] es un número irracional. Más específicamente, [matemáticas] x [/ matemáticas] es trascendental, pero eso no es tan importante.
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Prueba: Primero, observamos que [math] x [/ math] no puede ser un número entero, ya que [math] y [/ math] también sería un número entero.
Entonces sabemos que [matemáticas] y = a / b [/ matemáticas] y, en aras de la contradicción, [matemáticas] x = c / d [/ matemáticas]. Ambas fracciones están en forma reducida.
[matemáticas] (c / d) ^ {c / d} = a / b [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ c / d ^ c = a ^ d / b ^ d [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ cb ^ d = a ^ dd ^ c [/ matemáticas]
Ahora tenemos una ecuación en enteros con la que es más fácil trabajar. Dado que cyd son coprimos por suposición, todos los factores de c deben estar contenidos en a para que se mantenga la ecuación anterior. Por lo tanto, para algunos enteros k, tenemos que [math] a = k * c [/ math].
Del mismo modo, tenemos que ya que a y b son números coprimos, que para algún número entero j, [matemática] d = j * b [/ matemática], por lo tanto, [matemática] b = d / j [/ matemática].
Ahora, tenemos que [matemáticas] y = x ^ x = a / b = k * c / (d / j) = k * j * c / d = k * j * x [/ matemáticas].
Curiosamente, [matemáticas] x ^ x = k * j * x [/ matemáticas], y luego encontramos que [matemáticas] x ^ {x-1} [/ matemáticas] es un número entero. Los valores exactos de k y j realmente no importan.
Por supuesto, [math] x [/ math] y [math] x-1 [/ math] son ambos no enteros racionales. Por lo tanto, según el Lema 1, [math] k * j [/ math] no puede ser un número entero. Esto es claramente una contradicción, por lo tanto, [matemáticas] x [/ matemáticas] es irracional.
Uno puede continuar usando el teorema de Gelfond-Schneider para mostrar que [math] x [/ math] también debe ser trascendental, aunque para los propósitos de esta pregunta, irracional es suficiente.
Creo que debería ser posible una prueba similar con su ecuación.
Numéricamente, como mostró Tyler, existe la solución [matemática] x = 2.29317 \ ldots [/ matemática]. Tal solución podría ser aproximada y necesaria usando algo como el método de Newton. Para demostrar que esta es la única solución, es suficiente mostrar que para todos [matemáticas] x> 2.29317 \ ldots [/ matemáticas], la ecuación [matemáticas] x ^ {x + 1} – (x + 1) ^ x [/ matemática] está aumentando estrictamente (o, simplemente, pruebe que no es cero). Una prueba bastante no rigurosa e incompleta se puede hacer de la siguiente manera:
[matemáticas] x + 1> x [/ matemáticas], trivialmente verdadero para números reales
[matemáticas] (x + 1) \ log (x)> x \ log (x) [/ matemáticas], para [matemáticas] x> e [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + 1) \ log (x)> x \ log (x + 1) [/ matemáticas], esperamos, a medida que x crece, ya que los registros se suavizan.
[matemáticas] x ^ {x + 1}> (x + 1) ^ x [/ matemáticas], tomando la exponencial en ambos lados.
Estoy bastante seguro de que la solución de Tyler es, de hecho, la única solución de números reales positivos dada la afirmación anterior, sin embargo, puede haber algunas soluciones más en números complejos que son más difíciles de clasificar. Juegue con la ecuación, tal vez intente algo como la aproximación de Sterling para demostrar que la solución de Tyler es única. No estoy seguro de cómo lo demostró.
EDITAR 8/1/16: Muy bien. Aquí hay una prueba rigurosa de que la solución es única en números reales positivos. Esto está inspirado en la respuesta de Peter Pangritz a mi respuesta, la reorganizó de una manera que hizo un método para probar esto realmente bien.
Entonces. Suponga que [math] x [/ math] es un número real positivo estrictamente mayor que [math] e [/ math]. Podemos numéricamente exactamente una solución menor que [math] e [/ math]. También observamos que la definición de límite de [math] e [/ math] es [math] \ lim_ {x \ to \ infty} (1 + 1 / x) ^ x [/ math]. Por lo tanto, tenemos eso para real, positivo [matemáticas] x> e [/ matemáticas], que [matemáticas] (1 + 1 / x) ^ x <e [/ matemáticas].
Al reorganizar la fórmula se obtiene [matemática] (x + 1) ^ x e [/ math], podemos multiplicar el derecho por [math] x [/ math] en lugar de [math] e [/ math], dando un mayor valor ya que es positivo. Esto da [matemáticas] (x + 1) ^ x <x ^ {x + 1} [/ matemáticas], sin mostrar soluciones por encima de [matemáticas] e [/ matemáticas]. Numéricamente solo tenemos una solución, entonces.