¿Cómo calculamos el valor numérico de [math] \ sqrt {2} [/ math]?

Answer 1

Método babilónico

Es posible que primero tenga dos estimaciones: [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac 32 [/ matemáticas]

Entonces sabemos [matemáticas] 1 <\ sqrt {2} <\ frac 32 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 <\ sqrt 2 -1 <\ frac 12 \; (1) [/ matemáticas]

Ahí es donde es importante: necesitamos que todo sea positivo para poder enraizar todos los lados en una desigualdad. Esto se debe a que las raíces cuadradas de un número negativo conducen a resultados complejos, por lo que es mejor verificar primero que todo sea positivo, y de hecho lo es.

[matemáticas] 0 <3-2 \ sqrt 2 <\ frac 14 \; (2) [/ matemáticas]

Así es como se hace la cuadratura: [matemáticas] (ab \ sqrt c) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2c) -2ab \ sqrt c [/ matemáticas]

Entonces lo vuelves a hacer:

[matemáticas] 0 <17-12 \ sqrt 2 <\ frac 1 {16} \; (3) [/ matemáticas]

Si se detiene aquí, lo que aún no es una buena idea, todavía debe hacer alguna división primero:

[matemáticas] 0 <\ frac {17} {12} – \ sqrt 2 <\ frac 1 {192} [/ matemáticas]

Entonces, la fracción [matemática] \ frac {17} {12} [/ matemática] diferirá en [matemática] \ sqrt 2 [/ matemática] en menos de [matemática] \ frac 1 {192} [/ matemática], y el error debe ser menor, ya que el lado más a la derecha en (2) puede ser [math] \ frac 15 [/ math], lo que nos dice que [math] \ frac {17} {12} [/ math] diferirá en [ matemáticas] \ frac 1 {300} [/ matemáticas]. Eso significa que, si hacemos la división, tenemos al menos dos dígitos decimales correctos. Pero es posible que no esté satisfecho con eso, y vuelve a hacer la cuadratura en (3):

[matemáticas] 0 <577-408 \ sqrt 2 <\ frac 1 {256} \; (4) [/ matemáticas]

Eso significa que [math] \ frac {577} {408} [/ math] diferirá en [math] \ sqrt 2 [/ math] incluso menos. En la mayoría de los casos, esto será suficiente, pero si usted más, puede intentarlo una vez más:

[matemáticas] 0 <665857 – 470832 \ sqrt 2 <\ frac 1 {65536} \; (5) [/ matemáticas]

Esta vez, si calcula [matemática] \ frac {665837} {470832} [/ matemática] en su calculadora, literalmente no verá ninguna diferencia entre este valor y [matemática] \ sqrt 2 [/ matemática]. ¿Es este un muy buen método?

Fracción continua

Además del método de Babilonia, también podemos usar la fracción continua. Una fracción continua se refiere a algo como esto:

[matemáticas] 3+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {4+ \ frac {1} {5}}} [/ matemáticas]

Sin embargo, expresar un número irracional en su fracción continua es un poco engañoso y requiere un poco de álgebra.

Entonces [math] \ sqrt 2 [/ math] debería comenzar algo como esto: [math] 1+ \ frac {1} {\ cdots} [/ math]

Denotamos la parte fraccional como [math] x [/ math]. Entonces [matemáticas] \ sqrt 2 = 1 + x [/ matemáticas]

[matemáticas] x (x + 2) = (\ sqrt 2 -1) (\ sqrt 2 +1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac 1 {2 + x} = \ frac 1 {2+ \ frac 1 {2 + x}} = \ cdots [/ math]

Entonces [math] \ sqrt 2 = 1+ \ frac 1 {2+ \ frac 1 {2+ \ frac 1 {2+ \ cdots}}} [/ math]

O, [matemáticas] \ sqrt 2 = [1; 2,2,2, \ cdots] [/ matemáticas]

Luego, estamos estimando el valor, simplemente truncamos algunos de los valores, por ejemplo, calcular [matemática] [1; 2] [/ matemática], [matemática] [1; 2,2] [/ matemática], y así sucesivamente .

[matemáticas] [1; 2] = \ frac 32 [/ matemáticas]

[matemáticas] [1; 2,2] = \ frac 75 [/ matemáticas]

Con solo estos valores, podemos estimar el valor utilizando la siguiente regla:

Si se da lo siguiente:

[matemáticas] [a; a_1, a_2, \ cdots a_n] = \ frac {p_n} {q_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] [a; a_1, a_2, \ cdots a_ {n + 1}] = \ frac {p_ {n + 1}} {q_ {n + 1}} [/ matemáticas]

Entonces puedes ignorar la tediosa expansión y deducir que

[matemáticas] [a; a_1, a_2, \ cdots a_ {n + 2}] = \ frac {a_ {n + 2} p_ {n + 1} + p_n} {a_ {n + 2} q_ {n + 1 } + q_n} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] [1; 2,2,2] = \ frac {2 \ veces 7 + 3} {5 \ veces 2 + 2} = \ frac {17} {12} [/ matemáticas]

Eso convergerá más lentamente, pero la cantidad de trabajo es mucho menor que la cuadratura.

Answer 2

La raíz cuadrada de 2 en símbolos: 2 ^ (1/2) = √2.

Métodos de calcular raíces cuadradas

Encuentra la raíz cuadrada de 2.

1. 4 1 4 2
/ /
\ / 02.00 00 00 00

02 1 * 1 <= 2 <2 * 2 x = 1
01 y = x * x = 1 * 1 = 1
01 00 24 * 4 <= 100 <25 * 5 x = 4
00 96 y = (20 + x) * x = 24 * 4 = 96
04 00 281 * 1 <= 400 <282 * 2 x = 1
02 81 y = (280 + x) * x = 281 * 1 = 281
01 19 00 2824 * 4 <= 11900 <2825 * 5 x = 4
01 12 96 y = (2820 + x) * x = 2824 * 4 = 11296
06 04 00 28282 * 2 <= 60400 <28283 * 3 x = 2
Se logra la precisión deseada:
La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1.4142

Answer 3

Si bien es posible usar cualquier número de métodos para calcular raíces cuadradas, un método común y fácil de implementar que usan las computadoras para hacer aritmética en números de coma flotante es con tablas de búsqueda para ciertos valores de x en [matemáticas] 2 ^ x [/ math] y [math] \ log_2 (x) [/ math], con un paso adicional de eliminación de errores utilizando polinomios de Taylor o Newton-Raphson. Tenga en cuenta, por ejemplo, que [matemáticas] 2 ^ \ frac12 = \ frac {2 ^ \ frac32} 2 [/ matemáticas], por lo que es suficiente almacenar suficientes bits de las respuestas a [matemáticas] 2 ^ x [/ math] para [math] x \ in [1,2) [/ math], y deriva todos los demás usando la multiplicación y división por 2 (que, en el caso de coma flotante, solo significa incrementar y disminuir el exponente). Se pueden calcular otras bases exponenciales utilizando la identidad [math] x ^ m = 2 ^ {m \ log_2 {x}} [/ math].

Estos algoritmos generalmente están integrados en la FPU y se calculan completamente en hardware. Vea esto para más detalles:

¿Cómo calcular una potencia / raíz arbitraria?

Answer 4

Sabemos que [matemáticas] 2 ^ {(1/2)} [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 ^ {(1/2)} [/ matemáticas] del teorema de Pitágoras, al considerar un triángulo rectángulo con ambos lados cortos = 1)

Es decir, está bien definido y es real. Tenga en cuenta que el número positivo y el número negativo son ambas raíces de 2.

También escribimos [matemáticas] 2 ^ {(1/2)} [/ matemáticas] como raíz 2, o [matemáticas] √2. [/ Matemáticas]

Durante mucho tiempo, hemos sabido que esto no puede representarse exactamente como una razón de dos números enteros.

Es decir, el valor de [math] 2 ^ {(1/2)} [/ math] es irracional (no es una razón).

Las calculadoras muestran solo unos pocos dígitos, por lo tanto, se limitan a mostrar un cierto grado de precisión; cualquier calculadora solo puede mostrar una aproximación (quizás redondeada) a ese número de dígitos.

Esto no es solo una limitación de las calculadoras, es una limitación de todo el sistema de números decimales. No podemos mostrar un número decimal exacto para [matemáticas] √2 [/ matemáticas] porque no podemos escribir físicamente un número infinitamente largo. (Hay una notación engañosa para los números que consisten en secuencias repetitivas, pero [matemática] √2 [/ matemática] no es una de esas, ya que 2 no es primo para 10, la base del sistema numérico).

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Aquí hay una prueba simple por contradicción de que la raíz 2 es irracional, por lo tanto, no se puede mostrar exactamente en una calculadora decimal. Puede buscar otras pruebas de que “la raíz 2 es irracional”.

Supongamos, en aras del argumento, que [math] √2 [/ math] podría ser un número racional , lo que significa que existe un número entero [math] a [/ math] y un número entero [math] b [/ math] tal que existe es una relación [matemática] a / b = √2. [/ matemática]

1. Entonces [math] √2 [/ math] puede escribirse como una fracción irreducible (la fracción se reduce tanto como sea posible) [math] a / b [/ math] de modo que ayb son enteros coprimos (no tienen un factor común) y [matemáticas] (a / b) ^ 2 = 2 [/ matemáticas].
2. [matemática] √2 [/ matemática] no es un entero así que [matemática] b> 1 [/ matemática]
3. Si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​primos, entonces [math] a ^ 2 [/ math] y [math] b ^ 2 [/ math] también deben ser coprime ya que la cuadratura no introduce nuevos factores primos
4. por lo tanto, [matemática] a ^ 2 / [/ matemática] [matemática] b ^ 2 [/ matemática] debe ser una fracción irreducible con un denominador mayor que [matemática] 1 [/ matemática].
5. por lo tanto, [math] a ^ 2 / b ^ 2 [/ math] no puede ser [math] 2 [/ math], lo que contradice la suposición inicial. Entonces [matemáticas] √2 [/ matemáticas] no puede ser un número racional

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La programación interna en una calculadora usaría varios métodos matemáticos (qv), así como memoria codificada de almacenamiento simple para llegar a un programa pequeño y eficiente. No creo que haya ningún método estándar absoluto para encontrar tales valores (o constantes) en las calculadoras, pero se sabe que algunos métodos son ‘mejores’ que otros en términos de almacenamiento utilizado y / o rapidez, de acuerdo con la escala de la calculadora (qué tan grande es). ¡Se sabe mucho porque la gente ha estado haciendo esto desde hace mucho tiempo!

Comúnmente, un programa usaría métodos iterativos , basados ​​en una idea matemática de aproximaciones sucesivas que mejoran con cada ciclo, idealmente rápidamente se convierten en mejores aproximaciones. Comenzaría con una aproximación, digamos 1.5, y mejoraría sucesivamente esa aproximación hasta que no haya más punto en hacerlo porque la diferencia entre aproximaciones es tan pequeña que no se registra. Algunos algoritmos son más rápidos que otros, alcanzan una aproximación óptima en menos pasos, menos tiempo. Otros usan menos espacio de almacenamiento, o hacen el mejor uso del conjunto de instrucciones que está disponible en el hardware.

A veces, el programa en una calculadora almacenará cosas como valores constantes, si son útiles en otros cálculos. Hay algunas fracciones bastante cercanas a la raíz 2 que se conocen desde hace siglos, y también muchas calculadoras podrían usar sus capacidades logarítmicas si fuera apropiado.

Ver, por ejemplo

Raíz cuadrada de 2 – Wikipedia – algoritmos computacionales.

Métodos de calcular raíces cuadradas – Wikipedia

Answer 5

Por lo general, se utiliza algún tipo de representación en el fondo para calcular los dígitos.

Aquí hay un ejemplo. Para encontrar [math] \ sqrt {2} [/ math], puedes intentar resolver la ecuación

[matemáticas] x ^ 2–2 = 0. [/ matemáticas]

Luego, hay algoritmos numéricos que pueden resolver esta ecuación con precisión arbitraria, ver Algoritmo de búsqueda de raíces – Wikipedia.

Por ejemplo, cuando calcula 2 ^ 2, multiplica dos números de 2, pero ¿qué hace cuando calcula 2 ^ (1/2) ??

Cuando calcula [math] \ sqrt {2} [/ math], multiplica un número por sí mismo (una de las raíces cuadradas de dos) de modo que el producto le proporcione [math] 2 [/ math].

Answer 6

Para calcular numéricamente sqrt (a), existen varios algoritmos iterativos eficientes.

Por ejemplo: x_ {n + 1} = 1/2 (x_n + a / x_n)
con x_0 = aprox de sqrt (a). Típicamente para carrozas, simplemente ignore la mantisa de a y tome 2 ^ (exponente-1)

La convergencia es tan rápida (exponencial para un buen punto de inicio) que algunos códigos en línea 2 pasos de la iteración.

Answer 7

No podemos saber el valor exacto de [math] 2 ^ {1/2} [/ math] además de decir que es el número que cuando lo cuadras, obtienes [math] 2 [/ math].

La razón por la que no podemos saber el valor exacto es que es irracional. Debido a esto, no podemos expresarlo como la razón de dos números enteros, y eso significa que en la representación decimal, [matemática] 1.414213 … [/ matemática], nunca terminará.