2 ^ k ((5-k) / (3k + 3)) = 4/3
Este no es el tipo de problema que generalmente es fácil de resolver con álgebra. Analíticamente, podrías comenzar diciendo:
2 ^ k> 0
Entonces podría reconocer que para que el lado izquierdo sea positivo, necesita 5-k <0 y 3k + 3 0 y 3k + 3> 0.
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Dado que 5-k> 0 para k 0 para k> -1, podemos decir con seguridad que no hay forma de que tanto 5-k como 3k + 3 sean negativos. (si k es lo suficientemente alto como para que 5-k sea negativo, es decir,> 5, entonces 3k + 3 es positivo). Pero podemos hacer que ambos sean positivos, siempre que -1 <k <5.
Para que el lado izquierdo sea racional, requerimos que k sea un número entero, ya que:
2 ^ (m / n) = 2 ^ k * 2 ^ (p / n)
donde k = piso [m / n] y p = m MOD n.
Se garantiza que p es menor que n. Como no hay un número J> -1 y <1 donde 2 ^ J es racional (aparte de J = 0),
2 ^ k * 2 ^ (p / n) será irracional a menos que p = 0. En otras palabras, a menos que m MOD n sea 0, lo que significa que m será divisible por n, por lo que m / n será un número entero.
Entonces k es un entero,> -1 y <5.
Esto deja solo 5 posibilidades para k: 0, 1, 2, 3, 4.
Podemos compararlos fácilmente con la ecuación original para encontrar nuestra solución: k = {1,2,3}