¿Cuál es un ejemplo del uso del método babilónico para encontrar la raíz cuadrada de un número?

Answer 1

El método babilónico de aproximación de las raíces cuadradas de [matemáticas] a> 0 [/ matemáticas] es la relación de recurrencia

[matemáticas] \ displaystyle {x_ {n + 1} = \ frac {1} {2} \ left (x_n + \ frac {a} {x_n} \ right) = F (x_n)} [/ math],

con algunas conjeturas iniciales [matemáticas] x_0 [/ matemáticas].

Calculamos [matemática] x_1 [/ matemática] sustituyendo [matemática] x_0 [/ matemática] en la fórmula del lado derecho (RHS) y evaluando la expresión. Luego calculamos [math] x_2 [/ math] sustituyendo [math] x_1 [/ math] en la fórmula RHS y evaluando, y así sucesivamente.

Como otros han dado ejemplos específicos, profundizaré un poco en por qué funciona. Y lo importante es que puede funcionar para calcular cualquiera de las raíces cuadradas, no solo una de ellas.

Supongamos, por casualidad, que hacemos una suposición inicial de [math] x_0 = \ sqrt {a} [/ math]. Entonces encontraríamos que [matemáticas] x_1 = \ frac {1} {2} (\ sqrt {a} + \ frac {a} {\ sqrt {a}}) = \ frac {1} {2} (\ sqrt {a} + \ sqrt {a}) = \ sqrt {a} = x_0 [/ math]. Lo mismo sucedería si eligiéramos [math] x_0 = – \ sqrt {a} [/ math].

Si piensa detenidamente, es posible que deseemos ver si podemos calcular con anticipación qué valores de [math] x_n [/ math] siempre resultarán en [math] x_ {n + 1} = x_n [/ math]. Llamaremos a este valor [math] x_ {eq} [/ math], el equilibrio de la relación de recurrencia, y reemplazaremos todas las instancias de [math] x_n [/ math] y [math] x_ {n + 1 } [/ math] por [math] x_ {eq} [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle {x_ {eq} = \ frac {1} {2} \ left (x_ {eq} + \ frac {a} {x_ {eq}} \ right)} [/ math].

Con un poco de álgebra para resolver [math] x_ {eq} [/ math], encontramos que [math] x_ {eq} ^ 2 = a [/ math], entonces [math] x_ {eq} = \ pm \ sqrt {a} [/ math] ambos satisfacen la condición de equilibrio. Esto significa que a partir de cualquiera de estos valores, el siguiente valor siempre será el mismo.

Entonces, ¿por qué el sistema converge a estos valores?

Si la distancia entre términos sucesivos y el equilibrio está disminuyendo, entonces la relación de diferencias [matemáticas] \ frac {| x_ {n + 1} – x_ {eq} |} {x_n – x_ {eq} |} 0 [/ matemática] y examinando el equilibrio positivo [matemática] \ sqrt {a} [/ matemática], completando [matemática] x_ {n + 1} = F (x_n) [/ matemática ] obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ frac {\ left | x_ {n + 1} – x_ {eq} \ right |} {\ left | x_n – x_ {eq} \ right |} & = \ frac {\ left | \ frac {1} {2} \ left (x_n + \ frac {a} {x_n} \ right) – \ sqrt {a} \ right |} {\ left | x_n – \ sqrt {a} \ right |} \\ & = \ frac {1} {2} \ left | \ frac {x_n + \ frac {a} {x_n} – 2 \ sqrt {a}} {x_n – \ sqrt {a}} \ right | \\ & = \ frac {1} {2} \ left | \ frac {x_n – \ sqrt {a} + \ frac {a} {x_n} – \ sqrt {a}} {x_n – \ sqrt {a }} \ right | \\ & = \ frac {1} {2} \ left | 1 + \ frac {1} {x_n} \ frac {a – \ sqrt {a} x_n} {x_n – \ sqrt {a} } \ right | \\ & = \ frac {1} {2} \ left | 1 + \ frac {\ sqrt {a}} {x_n} \ frac {\ sqrt {a} – x_n} {x_n – \ sqrt { a}} \ right | \\ & = \ frac {1} {2} \ left | 1 – \ frac {\ sqrt {a}} {x_n} \ right | \\ & <1 \ end {align *}} [/matemáticas]

si [math] x_n [/ math] está cerca de [math] \ sqrt {a} [/ math]. Esto significa que la secuencia converge.

De hecho, si observamos la derivada con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] de [matemáticas] F (x) [/ matemáticas], vemos que [matemáticas] F ^ \ prime (x) = \ frac { 1} {2} (1 – \ frac {a} {x ^ 2}) [/ math], y por lo tanto [math] F ^ \ prime (\ pm \ sqrt {a}) = 0 <1 [/ math] . ¡Esto significa que el método de Babilonia converge a la raíz cuadrada casi tan rápido como se puede esperar de una relación de recurrencia de primer orden como esta!

¿De dónde viene? De hecho, puede derivarlo del método de Newton para aproximar los ceros de una función. Considere [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – a [/ matemáticas]. Esto tiene raíces [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {a} [/ matemáticas], satisfaciendo [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]. El método de Newton implica seguir líneas tangentes sucesivas de una función hacia la raíz, y su fórmula es

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ^ \ prime (x_n)} [/ matemáticas].

Tenemos [math] f ^ \ prime (x) = 2x [/ math], por lo que esto nos da una iteración de Newton de

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {x_n ^ 2 – a} {2x_n} = x_n – \ frac {x_n} {2} + \ frac {a} {2x_n} = \ frac {1} {2} \ left (x_n + \ frac {a} {x_n} \ right) [/ math].

Esto significa que el método babilónico es un caso especial del método de Newton. La razón por la que converge tan rápido es porque el método de Newton converge cuadráticamente, y comenzamos con una función cuadrática cuyas raíces queríamos encontrar.

Answer 2

Intentemos sacar la raíz cuadrada de 9 usando el método, quizás obviamente, la respuesta es 3, ya que 3 x 3 = 9. Comenzaré con una conjetura de 2.5 (no hay otra razón en particular que no sea la respuesta real, entonces no deberíamos tener que hacer demasiados pasos).

Paso uno: la mejor suposición es 2.5:

nueva aproximación es 0.5 * (2,5 + 9 / 2.5) = 3.05

Paso dos: la mejor suposición es 3.05

nueva aproximación es 0.5 * (3.05 + 9 / 3.05) = 3.000409

Paso tres: la mejor suposición es 3.000409
nueva suposición es 0.5 * (3.000409 + 9 / 3.000409) = 3.00000002788

Ahora me parece bastante bueno, así que podemos parar.

Entonces, ¿por qué funciona? La idea clave es que

1. Si nuestra suposición de la raíz cuadrada es mayor que la raíz cuadrada real, entonces el número “9 / nuestra suposición” será más pequeño que la raíz cuadrada real. Tómese un minuto para ver por sí mismo que esto es cierto: pruébelo con algunos números si lo desea, digamos 16 y 36.

El promedio de dos números siempre está entre esos dos números en la línea numérica (también prueba este, dibuja y mira con el ejemplo anterior).

Esto significa que el promedio de los dos números “nuestra suposición” y “9 / (nuestra suposición)” estará en algún lugar entre una sobreestimación de la raíz cuadrada y una subestimación de la raíz cuadrada. Además, usar el promedio como nuestra nueva estimación significa que el rango de valores posibles donde la raíz cuadrada podría reducirse con el tiempo.

Si hacemos esto varias veces, el rango donde nuestra raíz cuadrada real se hace cada vez más pequeño. En el paso 1, podría estar entre “2.5” y “9 / 2.5”: entre 2.5 y 3.6.

Pero al final del paso tres, el rango donde podría estar la raíz cuadrada real se ha reducido a entre 3.000000028 y 2.99999997

Siempre sabemos que la raíz cuadrada real también está en algún lugar de ese rango, por lo que siempre avanzamos. Eventualmente, lo llamamos un día y decimos “eso es lo suficientemente cerca para mí”, pero podría seguir reduciéndolo para siempre si quisiera.

(Si suponemos que es alto inicialmente, todo sigue funcionando: los dos números siguen entre paréntesis en la raíz cuadrada real).

Avíseme si algunas partes de esto no están claras =) Es un concepto complicado, y lleva un tiempo acostumbrarse a pensar de esta manera.

Answer 3

El método babilónico para calcular raíces cuadradas utiliza el método de Newton-Raphson para encontrar raíces cuadradas:

Queremos encontrar la raíz cuadrada del valor [math] a> 0 [/ math]. Elija un valor inicial [math] x_0 [/ math], por ejemplo

[matemáticas] \ displaystyle x_0 = \ frac {a} {2} [/ matemáticas]

Luego itere hasta que la precisión sea lo suficientemente buena:

[matemáticas] \ displaystyle x_ {i + 1} = \ frac {1} {2} \ left (x_i + \ frac {a} {x_i} \ right) [/ math]

Es fácil ver que simplemente usamos el promedio de nuestro valor actual y el promedio de [matemáticas] a [/ matemáticas] dividido por el valor actual. Esto converge a la raíz cuadrada de [math] a [/ math].

¿Cómo obtuvimos este resultado?

Definir

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = x ^ {2} -a = 0 [/ matemáticas]

La iteración de Newton-Raphson simplemente usa

[matemáticas] \ displaystyle x_ {i + 1} = x_i – \ frac {f (x_i)} {f ‘(x_i)} = x_i – \ frac {x_i ^ 2 – a} {2x_i} = \ frac {1} {2} \ left (x_i- \ frac {a} {x_i} \ right) [/ math]

Digamos que quieres encontrar la raíz cuadrada de 19:

[matemáticas] x_0 = 9.50000000000000000000000000000000000000000000000000 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = 5.75000000000000000000000000000000000000000000000000 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 4.52717391304347826086956521739130434782608695652173 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = 4.36202633227203925048280181637872540320476016493553 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = 4.35890006464352026278998360590607873933329045697240 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 = 4.35889894354081772525933427484101618826311447645953 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_6 = 4.35889894354067355223698198624391736507532047889911 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_7 = 4.35889894354067355223698198385961565913700392523244 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_8 = 4.35889894354067355223698198385961565913700392523244 [/ matemáticas]

¡Vaya, después de 7 iteraciones ya tenemos una precisión de al menos 50 dígitos!

Este enfoque tiene convergencia cuadrática. El número de dígitos correctos se duplica aproximadamente en cada iteración.

Interpretación geométrica

Si comienza con [math] x_0 = a [/ math], hay una interpretación geométrica simple del método.

Comienza con un rectángulo de ancho [matemático] a [/ matemático] y altura 1 (que tiene área [matemático] a [/ matemático]). En cada paso, cambia el ancho para que sea el promedio del ancho y alto actuales, y establece el alto como [matemático] a [/ matemático] dividido por el nuevo ancho. Este nuevo rectángulo tiene nuevamente un área de [matemáticas] a [/ matemáticas], pero está un paso más cerca de convertirse en un cuadrado. Si repite este proceso, esto dará como resultado rápidamente un rectángulo que se parece cada vez más a un cuadrado. El ancho es, por supuesto, la raíz cuadrada de [math] a [/ math], porque la forma tiene un área de [math] a [/ math] en cada iteración.

Answer 4

Las otras dos respuestas son brillantes, pero proporcionaré un enfoque más fácil para explicar el método babilónico. Elija [math] \ sqrt 1000 [/ math]

Aquí es donde debes encontrar: ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1000? Desplácese un poco hacia abajo para encontrar mi respuesta.

Puedes hacer un poco de álgebra para descubrir que este es esencialmente el método de Babilonia.

El método descrito se puede escribir en forma de

[matemáticas] x_i- \ sqrt a <\ epsilon [/ matemáticas]

[matemáticas] x_i ^ 2 + a-2x_i \ sqrt a <\ epsilon ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x_i ^ 2 + a} {2x_i} – \ sqrt a <\ frac {\ epsilon ^ 2} {2x_i} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {i + 1} = \ frac {x_i ^ 2 + a} {2x_i} [/ matemáticas]

Después de la simplificación, esto es esencialmente lo mismo que la fórmula enumerada por otras respuestas.