El significado de su pregunta es un poco ambiguo. Creo que quieres decir algo como esto para los puntos que están en 2D:
Deje que [math] (x_1, y_1) [/ math] y [math] (x_2, y_2) [/ math] sean un par de puntos tales que [math] x_1 \ ne x_2 [/ math] y [math] y_1 \ ne y_2 [/ math]. Encuentre una función, [math] f [/ math], desde [math] \ mathbb R [/ math] a [math] \ mathbb R [/ math] de manera que [math] f [/ math] sea convexa y [math ] f (x_i) = y_i [/ math] para [math] i = 1,2 [/ math].
Si eso es lo que quieres decir, entonces la respuesta más fácil es la línea que los conecta.
Pendiente: [matemática] m = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} [/ matemática]
- ¿Cómo procesan n qubits 2 ^ n BITS cuando solo se pueden leer n BITS a la vez?
- ¿Es cierto que digo que O ((log n)!) Y O (n!) Son iguales?
- Cómo resolver este problema cuántico
- ¿Cuál es el problema que Lego está resolviendo?
- ¿Dónde puedo encontrar una prueba detallada que garantice la existencia de una solución al problema de n-Queens?
Ecuación: [matemáticas] f (x) = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} x + y_1 [/ matemáticas]
Después de todo, las líneas son convexas y cóncavas.
Pero tal vez pienses que eso es trampa. Tal vez te refieres a una función estrictamente convexa. Eso elimina las líneas. Pero las parábolas funcionan bien. Entonces, solo tenemos que ajustar una parábola (con coeficiente de avance positivo) a nuestro par de puntos. Eso es bastante fácil de hacer, ya que hay infinitas parábolas de este tipo. Te mostraré cómo encontrar el que tiene el coeficiente principal 1.
Objetivo: encontrar dos constantes, [matemática] a, b [/ matemática] de modo que la función dada por [matemática] f (x) = x ^ 2 + ax + b [/ matemática] pase por los puntos [matemática] (x_1 , y_1) [/ math] y [math] (x_2, y_2) [/ math].
Solución: simplemente conecte los dos puntos y resuelva el sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas.
[matemáticas] f (x_1) = x_1 ^ 2 + ax_1 + b = y_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x_2) = x_2 ^ 2 + ax_2 + b = y_2 [/ matemáticas]
Podemos reescribirlos como:
[matemáticas] x_1 \ cdot a + 1 \ cdot b = y_1-x_1 ^ 2 [/ math]
[matemáticas] x_2 \ cdot a + 1 \ cdot b = y_2-x_2 ^ 2 [/ matemáticas]
Restando da:
[matemáticas] (x_1-x_2) \ cdot a = (y_1-y_2) – (x_1 ^ 2-x_2 ^ 2) [/ matemáticas]
Así que eso:
[matemáticas] a = \ frac {(y_1-y_2) – (x_1 ^ 2-x_2 ^ 2)} {x_1-x_2} [/ matemáticas]
Luego, volviendo a conectar esto a la primera ecuación, obtenemos:
[matemáticas] b = y_1-x_1 ^ 2-x_1 \ cdot \ frac {(y_1-y_2) – (x_1 ^ 2-x_2 ^ 2)} {x_1-x_2} [/ matemáticas]
Es uno de los infinitos polinomios cuadráticos convexos que pasan por los puntos. Hay una vasta familia de otras funciones convexas que también harían el trabajo.
Ahora, si quieres hacer lo mismo en dimensiones superiores, la misma intuición sigue teniendo sentido.
Ahora, escribiré mis puntos como [math] (\ vec x_1, y_1) [/ math] y [math] (\ vec x_2, y_2) [/ math] con [math] \ vec x_1 \ ne \ vec x_2 [/ math] y [math] y_1 \ ne y_2 [/ math]. (Suponga [math] \ vec x_i \ in \ mathbb R ^ n [/ math].) Ahora queremos una función convexa [math] f [/ math] tal que [math] f (\ vec x_i) = y_i [/ matemáticas] para [matemáticas] i = 1,2 [/ matemáticas].
Y una vez más, la línea que los conecta funciona bien. Y si desea una función estrictamente convexa, el Paraboloide dado por [math] f (\ vec x) = c_0 + \ sum_ {i = 1} ^ n (x_i-c_i) ^ 2 [/ math] ciertamente puede hacerse el trabajo para un conjunto de constantes [math] c_0, c_1, \ ldots, c_n [/ math]. (Aquí, la notación [math] x_i [/ math] significa el componente [math] i ^ {\ text {th}} [/ math] del vector n-dimensional [math] \ vec x [/ math].) De hecho, si intenta ajustar esta función a nuestros dos puntos, vemos que el sistema está bastante subdeterminado, y hay infinitas funciones de esta forma que funcionarían. Encontrarlos puede ser un poco complicado, pero de todos modos ese es el trabajo para un sistema de álgebra computacional.