Supongamos que hemos construido un conjunto [matemática] X [/ matemática]. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección (ZFC), es posible construir el conjunto de potencia de cada conjunto que podemos construir en esta teoría. El conjunto de potencia de [math] X [/ math], denotado [math] \ mathcal {P} (X) [/ math] es el conjunto de todos los subconjuntos de [math] X [/ math]. Si [matemática] X [/ matemática] tiene cardinalidad [matemática] | X | [/ matemática], entonces la cardinalidad del conjunto de potencia de [matemática] X [/ matemática] es [matemática] | \ matemática {P} (X ) | = 2 ^ {| X |} [/ matemáticas].
Supongamos que [math] X [/ math] es el conjunto [math] \ {a, b \} [/ math]. Entonces [math] \ mathcal {P} (X) = \ {\ emptyset, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \} [/ math].
Supongo que desde este punto de vista, si se pueden construir [matemáticas] X [/ matemáticas], su conjunto de potencia [matemáticas] \ matemáticas {P} (X) [/ matemáticas] existe automáticamente, y los subconjuntos de [matemáticas] X [/ math] debe (por definición) ser los elementos de [math] \ mathcal {P} (X) [/ math].
Pero no se confunda: si tomamos la misma [matemática] X = \ {a, b \} [/ matemática] que la anterior, entonces [matemática] a \ en X [/ matemática], pero [matemática] \ { a \} \ not \ en X [/ math], porque [math] \ {a \} [/ math] es el conjunto que contiene [math] a [/ math], y no es [math] a [/ math] sí mismo.
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Sin embargo, a veces un conjunto puede contener uno de sus propios subconjuntos como elemento. Tomemos, por ejemplo, [matemáticas] Y = \ {a, \ {a \} \} [/ matemáticas]. El conjunto de potencia de [math] Y [/ math] es [math] \ mathcal {P} (Y) = \ {\ emptyset, \ {a \}, \ {\ {a \} \}, \ {a, \ {a \} \} \} [/ matemáticas]. El conjunto [math] \ {a \} [/ math] es tanto un elemento de [math] Y [/ math] como un subconjunto de [math] Y [/ math]. Pero entonces [math] \ mathcal {P} (Y) [/ math] contiene [math] \ {\ {a \} \} [/ math] (el conjunto que contiene el conjunto que contiene [math] a [/ math]) , que es un subconjunto de [math] Y [/ math], pero no un elemento de [math] Y [/ math].
La moraleja de estos ejemplos es que un conjunto no necesita contener todos sus propios subconjuntos como elementos (¡probablemente sería algo problemático si lo hicieran!), Pero los subconjuntos de conjuntos son automáticamente los elementos de otros conjuntos.