¿Cómo puedo encontrar el volumen de revolución al rotar [matemáticas] f (x) = \ sin (x − 1), \ [0,1+ \ frac {\ pi} {2}] [/ matemáticas] alrededor del [ math] y [/ math] -axis?
El área encerrada está entre [matemática] y = 0 [/ matemática], [matemática] y = 1 [/ matemática] y [matemática] x = 0 [/ matemática].
Aquí hay dos vistas de la región: una que muestra un rectángulo horizontal (que cuando se gira alrededor del eje [matemático] y [/ matemático] produce un disco), y la otra que muestra dos rectángulos verticales (que producen conchas cilíndricas cuando se gira alrededor del [matemática] y [/ matemática] -axis).
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Para el enfoque de disco, el volumen (infinitesimal) del disco sería [matemática] dV = \ pi \ left (1+ \ sin ^ {- 1} y \ right) ^ 2 dy [/ math].
Para el enfoque de shells, podríamos considerar por separado los dos “tipos” de shells (los de [math] [0,1] [/ math] y los de [math] [1,1+ \ pi / 2] [/ math ]). El primer conjunto de proyectiles da un cilindro con altura 1 y radio 1, mientras que el segundo requiere una integral; el volumen de cada uno del segundo conjunto de shells es [math] dV = 2 \ pi x (1- \ sin (x-1)) \, dx [/ math].
Alternativamente, podemos tomar el volumen de un cilindro con altura 1 y radio [matemática] 1+ \ pi / 2 [/ matemática] y luego restar el volumen de la pieza “faltante” (el sólido formado al girar alrededor de la [matemática] y [/ math] -eje del área debajo la curva de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 1+ \ pi / 2 [/ matemática]), para la cual el volumen de una concha es [matemática] dV = 2 \ pi x \ sin (x-1 ) \, dx [/ math].
Por lo tanto, el volumen total está representado por cualquiera de estas expresiones.
- Discos: [matemática] \ int_0 ^ 1 \ pi \ left (1+ \ sin ^ {- 1} y \ right) ^ 2 dy [/ math]
- Conchas (ver. 1): [matemáticas] \ pi + \ int_1 ^ {1+ \ pi / 2} 2 \ pi x (1- \ sin (x-1)) \, dx [/ matemáticas]
- Conchas (ver. 2): [matemáticas] \ pi (1+ \ pi / 2) ^ 2 – \ int_1 ^ {1+ \ pi / 2} 2 \ pi x \ sin (x-1) \, dx [/ matemáticas]
Los tres dan el mismo valor (como uno esperaría): alrededor de 8.196.