¿Cuál es el límite de (1 / x) – (1 / sinx) cuando x se acerca a 0+ sin usar la regla de L’Hospital?

Answer 1

[matemáticas] \ frac 1x- \ frac 1 {\ sin x} = \ frac {\ sin xx} {x \ sin x} [/ matemáticas]

Ahora, el teorema de Taylor nos dice que [math] \ sen x [/ math] en la vecindad de cero es:

[matemáticas] \ sin (x) = x – \ frac {x ^ 3} 6 + h (x) x ^ 3 [/ matemáticas]

para alguna función [matemática] h [/ matemática] tal que [matemática] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} h (x) = 0 [/ matemática].

Usando este resultado obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac 1x- \ frac 1 {\ sin x} = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {\ sin xx} {x \ sin x }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {x – \ frac {x ^ 3} 6 + h (x) x ^ 3-x} {x \ left (x – \ frac { x ^ 3} 6 + h (x) x ^ 3 \ derecha)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {- \ frac {x ^ 3} 6 + h (x) x ^ 3} {x ^ 2 – \ frac {x ^ 4} 6 + h (x) x ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {- \ frac {x} 6 + h (x) x} {1 – \ frac {x ^ 2} 6 + h (x) x ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora el denominador limita claramente a 1 y el numerador limita a cero, lo que implica que la respuesta final debe ser cero.

Answer 2

¿Cuál es el límite de (1 / x) – (1 / sinx) cuando x se acerca a 0+ sin usar la regla de L’Hospital?

Aquí hay un enfoque que evita los polinomios de Taylor. (Si desea evitar L’Hôpital, entonces los polinomios de Taylor también pueden considerarse fuera de los límites, ya que L’Hôpital es básicamente un atajo para reemplazar funciones con sus aproximaciones de Taylor).

La prueba típica de que [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas] (que se utiliza para demostrar que [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ sen x = \ cos x [/ math]) se basa en la aplicación del teorema de compresión a la observación (geométrica) de que para [math] 0

De esta desigualdad, se deduce (tomando recíprocos) que [matemáticas] 1 \ le \ frac {x} {\ sin x} \ le \ frac {1} {\ cos x} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] 0 \ le \ frac {x} {\ sin x} -1 \ le \ frac {1} {\ cos x} -1 [/ math]. Por lo tanto, para [matemáticas] 0

[matemáticas] \ dfrac {\ frac {1} {\ cos x} -1} {x} = \ dfrac {1- \ cos x} {x \ cos x} = \ dfrac {(1- \ cos x) ( 1+ \ cos x)} {x \ cos x (1+ \ cos x)} = \ dfrac {\ sin ^ 2 x} {x \ cos x (1+ \ cos x)} [/ math]

Finalmente, aplique el teorema de compresión: ya que [math] 0 \ le \ dfrac {1} {\ sin x} – \ dfrac {1} {x} \ le \ dfrac {\ sin ^ 2 x} {x \ cos x ( 1+ \ cos x)} [/ math], el límite que se busca está entre el límite del lado izquierdo (que obviamente es 0) y

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ frac {\ sin ^ 2 x} {x \ cos x (1+ \ cos x)} = \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ sin x \ cdot \ frac {\ sin x} {x} \ cdot \ frac {1} {\ cos x (1+ \ cos x)} = 0 \ cdot 1 \ cdot \ frac {1} {2} = 0 [/ math ]

Answer 3

Sin los polinomios de Taylor, L’Hopitals y asumiendo

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ frac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas]

Si no conoce la prueba, puede solicitarla por separado. Pero si sabes esto, esto no parece tan malo.

Entonces ahora tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ left (\ frac {1} {x} – \ frac {1} {\ sin x} \ right) = \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ left (\ frac {1} {x} \ left (\ frac {\ sin x} {\ sin x} \ right) – \ frac {1} {\ sin x} \ right) = \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ left (\ frac {\ sin x} {x} \ frac {1} {\ sin x} – \ frac {1} {\ sin x} \ right) [/ math]

Creo que puedes averiguar a dónde ir desde aquí. Te recordaré que necesitas ese límite anterior.

Como segunda pista, puede intentar sustituir [math] u = [/ math] [math] \ csc x [/ math] o usar el hecho de que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0 ^ +} (f (x) -f (x)) = 0 [/ matemáticas]

No estoy seguro de lo que eres o no puedes usar.

¡Buena suerte!

Answer 4

La pregunta se puede resolver utilizando la expansión de sen x:

sen x = x – ((x ^ 3) / 3!) + ((x ^ 5) / 5!) …

Por lo tanto: necesitamos encontrar el límite de (sin x – x) / x sin x:

De la expansión tenemos:

[- ((x ^ 3) / 3!) + ((x ^ 5) / 5!)…] / [(x ^ 2) – ((x ^ 4) / 3!) + ((x ^ 6) / 5!) …]

Tanking (x ^ 3) y (x ^ 2) comunes del numerador y el denominador respectivamente, podemos ver que los términos restantes en el numerador y el denominador que tienen un término constante cada uno, son constantes, sin embargo, el numerador tiene una x extra a la izquierda, que hace que el límite sea cero.