Recuerda la regla básica de la división,
P (x) = D (x) * Q (x) + R (x)
Aquí, P (x) = [matemática] x ^ {100}, [/ matemática] D (x) = [matemática] x ^ 2 [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] 3x [/ matemática ] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] 2 [/ matemáticas]
Podemos factorizar D (x) como [matemáticas] (x-2) [/ matemáticas] [matemáticas] * [/ matemáticas] [matemáticas] (x-1). [/ Matemáticas]
Como D (x) es cuadrático, R (x) será lineal.
Por lo tanto, R (x) tendrá la forma Ax + B,
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Ahora, conectando los valores a la ecuación, obtenemos
[matemática] x ^ {100} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] (x-2) [/ matemática] [matemática] * [/ matemática] [matemática] (x-1) [/ matemática] [matemática] * [/ matemática] [matemática] Q (x) [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] Hacha [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] B [ /matemáticas]
Ahora, poniendo X = 1, obtenemos
[matemática] 1 ^ {100} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] [matemática] + [/ matemáticas] [matemáticas] B [/ matemáticas]
=> [matemática] A [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] B [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática]
Ahora, poniendo X = 2, obtenemos
[matemáticas] 2 ^ {100} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 0 [/ matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] 2A [/ matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] B [/ matemáticas]
=> [matemática] 2A [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] B [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 2 ^ {100} [/ matemática]
Ahora, resolviendo para A y B, obtenemos
[matemáticas] A [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 ^ {100} – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] B [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 – 2 ^ {100} [/ matemáticas]
Por lo tanto, R (x) = [matemática] ([/ matemática] [matemática] 2 ^ {100} – 1 [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] [matemática] * [/ matemática] [matemática] X [ / matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] 2 – 2 ^ {100} [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas]