¿Cómo conocían los antiguos la igualdad de las proporciones de la circunferencia de un círculo al doble de su radio y su área al cuadrado de su radio?

Answer 1

Hasta que Arquímedes escribió una razón, no sabemos cómo los antiguos determinaron que las proporciones eran las mismas. Aunque hay especulación, tendrá que seguir siendo especulación.

Una afirmación intermedia es que el área de un círculo es el producto de su radio y la mitad de su circunferencia. Eso era conocido en la antigua China y la antigua Grecia, y quizás también en otros lugares.

El argumento formal de Arquímedes se construyó a partir de una idea intuitiva que se aproxima a los círculos mediante polígonos regulares inscritos y circunscritos.

Imagen del artículo de Steven Strogatz ‘Take It to the Limit.

Intuitivamente, los polígonos inscritos y circunscritos tienen aproximadamente el mismo perímetro que la circunferencia del círculo, y sus áreas son aproximadamente las mismas que el círculo, especialmente cuando los polígonos tienen muchos lados. Dado que el área de cualquier sector triangular es aproximadamente el radio multiplicado por la mitad del borde exterior del sector (la mitad de la altura por la base), por lo tanto, el área de los polígonos y el círculo es aproximadamente el radio multiplicado por la mitad de la circunferencia.

Casi el mismo argumento aparece anteriormente en la Proposición 2 del Libro XII de los Elementos de Euclides, pero el propósito de esa proposición era solo mostrar que las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados en sus radios.

Puede ser que argumentos intuitivos como ese llevaron a los antiguos a la igualdad de las proporciones. Probablemente nunca lo sabremos con certeza ya que hay pocos registros que sobrevivan antes de Euclides.

Answer 2

Editar: Actualizaciones realizadas para abordar los comentarios de Michael Lamar.

Así es cómo. Los antiguos nuevos acerca de la similitud de triángulos y cómo calcular las áreas de triángulos. Considere los dos círculos concéntricos a continuación:

El radio del círculo interno es [matemático] r [/ matemático] y el del círculo externo es [matemático] R [/ matemático]. Las bases de los dos triángulos son [matemática] \ Delta s [/ matemática] y [matemática] \ Delta [/ matemática] S. Sabemos que los dos triángulos son similares y, por lo tanto,

[matemáticas] \ dfrac {\ Delta s} {\ Delta S} = \ dfrac {r} {R} \ implica \ dfrac {\ Delta s} {r} = \ dfrac {\ Delta S} {R} [/ math ]

Como [math] n [/ math] ([math] \ to \ infty [/ math]) triángulos más pequeños cubren todo el círculo interno y [math] n [/ math] de los triángulos más grandes cubren todo el círculo más grande, debe sé eso

[matemáticas] \ dfrac {n \ Delta s} {r} = \ dfrac {n \ Delta S} {R} \ implica \ dfrac {c} {r} = \ dfrac {C} {R}, [/ math]

donde [matemática] c [/ matemática] es la circunferencia del círculo más pequeño y [matemática] C [/ matemática] es la circunferencia del círculo externo. Por lo tanto, notamos que la razón de la circunferencia al radio en un círculo es una constante. Llamamos a esto constante [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {c} {r} = \ dfrac {C} {R} = 2 \ pi. [/ Matemáticas]

Además, tenemos

Área del triángulo más pequeño [math] = \ dfrac {1} {2} r \ Delta s [/ math]

Por lo tanto, el área del círculo más pequeño [matemáticas] = \ dfrac {2} {2} r (n \ Delta s) = \ pi r ^ 2, [/ matemáticas]

donde consideramos que [matemáticas] n \ Delta s = c = 2 \ pi r [/ matemáticas].

Área del círculo exterior [matemática] = \ pi R ^ 2 [/ matemática]

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que:

[matemáticas] \ dfrac {\ text {circunferencia}} {\ text {radio} ^ 2} = \ pi [/ matemáticas]