Aquí hay una analogía, pero es mc ^ 2 que es como la hipotenusa. Es la energía del objeto en su propio marco de referencia. E es la energía en algún marco de referencia dado. La energía también es la cantidad conservada asociada por el teorema de Noether con la simetría bajo traducción en el tiempo (donde el tiempo es tiempo en el marco de referencia dado). La traducción en el espacio (en el mismo marco de referencia) también es una simetría y está asociada bajo el teorema de Noether con el momento p. Esta es la razón por la cual en la relatividad la energía y el momento a menudo se agrupan como el momento Cuatro. Traducir en cualquier dirección en el espacio-tiempo es una simetría y el impulso cuatro te da las cantidades conservadas que se asocian con todas esas simetrías.
Ahora aquí es donde hay un gran giro. En la geometría euclidiana ordinaria todo es simétrico bajo rotaciones, lo que preserva las longitudes que pueden calcularse mediante el teorema de Pitágoras. Entre dos puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) la distancia al cuadrado es x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 donde x = x2-x2, y = y2-y1, y z = z2 -z2. La geometría que se usa para la relatividad especial tiene un conjunto de simetrías menos familiar. Entre dos eventos (t1, x1, y1, z1) y (t2, x2, y2, z2) hay una cantidad (ct) ^ 2-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2 donde t = t2-t1, x = x2-x1, y = y2-y1 y z = z2-z1. Si un cuerpo pasa de (x1, y1, z1) en el tiempo t1 a (x2, y2, z2) en el tiempo t2 a una velocidad uniforme, el tiempo transcurrido es la raíz cuadrada de t ^ 2-x ^ 2-y ^ 2- z ^ 2. (Tenga en cuenta que en algunos contextos se refieren a la cantidad x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2- (ct) ^ 2, pero eso es solo un cambio en el signo. Si uno permanece igual, el otro también).
Entonces, cuando nos transformamos de un marco de referencia a otro, el impulso de 4 también se transforma en un vector que tiene el mismo valor para E ^ 2 – (pc) ^ 2. Eso es lo que es análogo a la longitud al cuadrado en la geometría euclidiana, y es la cantidad la misma en todos los marcos de referencia.
En el propio marco de referencia de los objetos, su impulso de 4 no tiene un componente de impulso ordinario; el eje “tiempo” en ese marco de referencia está en la misma dirección con la que se alinea su línea mundial. Entonces, básicamente, está girando el impulso de 4 momentos del objeto desde cualquier dirección en la que se encuentre en el eje t. Y luego, dado que en su propio marco de referencia la energía es mc ^ 2, obtenemos (mc ^ 2) ^ 2 = E ^ 2 – (pc) ^ 2.
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He sido un poco breve aquí, pero espero que sea suficiente para que puedas localizar cualquier otro detalle que necesites para que quede claro. ¡Espero haber captado todos los lugares donde debería haberme multiplicado o dividido por c! Las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski y el teorema de Noether son cosas realmente hermosas en física.
Keith Ramsay