Cómo encontrar la ecuación de una línea en 3D y por qué es importante hacer esto para la geometría

Answer 1

Debe tener al menos las coordenadas de un punto, digamos P (x1, y1, z1), y el vector de dirección, digamos d (a, b, c) que designa la dirección de la línea.

Para un punto arbitrario, A (x, y, z), el vector PA es paralelo al vector de dirección d y puede expresarse como PA = kd, donde k es una constante.

Pero PA = (x-x1, y-y1, z-z1)

Por lo tanto, (x-x1, y-y1, z-z1) = k (a, b, c)

Es decir, k = (x-x1) / a = (y-y1) / b = (z-z1) / c, que de hecho es la ecuación de una línea en 3D.

Si alguna de las coordenadas del vector de dirección es cero, por ejemplo, si la coordenada x del vector de dirección es cero, es decir, d (0, b, c), entonces la ecuación de la línea es simplemente x = x1 o (y-y1) / b = (z-z1) / c.

Si dos coordenadas del vector de dirección son ceros, por ejemplo d (0, 0, z), entonces la ecuación de la línea es x = x1 o y = y1.

NOTA: Dados dos puntos P (x1, y1, z1) y Q (x2, y2, z2), el vector directo se puede encontrar como d = vector PQ = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) y La ecuación de la línea ahora se puede encontrar usando este vector de dirección, d, y cualquiera de los puntos P o Q.

La importancia de poder encontrar la ecuación de una línea en 3D a la geometría, es que uno puede decir la relación entre dos líneas (que NO son idénticas). Es decir, si dos líneas en 3D son paralelas (sus vectores de dirección son paralelos), si están sesgadas (las líneas NO se encuentran y los vectores de dirección NO son paralelas) o si se cruzan en un punto (las líneas se encuentran pero los vectores de dirección NO paralela). Esto se logra mediante la comparación de vectores de dirección de las dos líneas

Answer 2

Para describir una línea en el espacio utilizamos vectores y ecuaciones paramétricas:

x = inicial (x) + en
y = inicial (y) + bt
z = inicial (z) + ct

donde representa el vector paralelo a la línea a través del punto (x, y, z)

en su caso, digamos P = (5,5,5) y Q = (- 8, -6, -3)

Entonces vector PQ = (-8-5, -6-5, -3-5) = <-13, -11, -8>

Usando el vector y el punto P tenemos las ecuaciones:

x = 5-13t
y = 5-11t
z = 5-8t

Para t = 0 obtenemos el punto P; yt = 1 da el punto Q

Conozca también la ecuación de forma estándar de una línea

Answer 3

Un pequeño cálculo multivariado nos muestra que una línea en 3D se describe mediante una ecuación vectorial de 3 componentes de la forma de modo que la línea sea paralela al vector dado por con el vector inicial la línea se parametriza a t. Esto tiene aplicaciones maravillosas en mecánica estructural y en cualquier lugar donde necesitemos medición de línea (básicamente en todas partes) esperamos que esto haya ayudado.