¿Cómo se puede calcular la ecuación paramétrica de una esfera?

Answer 1

La superficie de una esfera centrada en el origen consiste en todos los puntos que tienen la misma distancia [matemática] r [/ matemática] desde el origen, es decir, todos los puntos [matemática] (x, y, z) [/ matemática] que satisfacen el ecuación [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática], siendo [matemática] r [/ matemática] el radio de la esfera.

Para un radio dado [matemática] r [/ matemática], cada punto en la superficie se describe completamente por dos ángulos medidos desde el origen, a saber, orientación (llámelo [matemática] \ alfa [/ matemática]) y elevación (llámelo [ matemáticas] \ beta [/ matemáticas]).

El ecuador de la esfera se describe a través de

[matemáticas] x = r \ cos \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] y = r \ sin \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 0 [/ matemáticas]

Puede verificar fácilmente que esto satisface [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas].

Si tiene en cuenta la elevación, esto se convierte en

[matemáticas] x = r \ cos \ alpha \ cos \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] y = r \ sin \ alpha \ cos \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] z = r \ sin \ beta [/ matemáticas]

Es obvio que [math] z [/ math] no depende de [math] \ alpha [/ math] (es decir, la altura no depende de la orientación). Sin embargo, [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] dependen de [matemática] \ beta [/ matemática]. Esto es correcto ya que los cortes horizontales a través de la esfera le dan un círculo cuyo radio depende de la elevación (factor [math] \ cos \ beta [/ math]).

Nuevamente, puede verificar que esto satisfaga [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas].