Cualquier trapecio isósceles puede formarse seccionando un triángulo isósceles a lo largo de una línea paralela a su base. Sea el trapecio isósceles con sus lados paralelos que miden [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] y altitud [matemática] h [/ matemática], como se muestra en la figura.
El centroide es realmente el centro de masa para distribuciones de masa uniformes. Entonces, suponga que la masa se distribuye uniformemente en todas partes. Por lo tanto, se nos permite decir que la masa de una parte del triángulo es proporcional a su área. Consideremos un eje de coordenadas con su origen en [math] A [/ math] y alineado con la altitud de [math] \ bigtriangleup ABC [/ math]. Por consideraciones de simetría, los centroides de [math] \ bigtriangleup ADE [/ math] y trapezoid [math] BDEC [/ math] se encuentran a lo largo de este eje. En este eje, el centroide de [math] \ bigtriangleup ADE [/ math] está ubicado en [math] \ dfrac {2} {3} h_1 [/ math] y su área es [math] \ dfrac {1} {2 } ah_1 [/ matemáticas]. El centroide de [math] \ bigtriangleup ABC [/ math] se encuentra en [math] \ dfrac {2} {3} (h_1 + h) [/ math] y su área es [math] \ dfrac {1} {2} b (h + h_1) [/ matemáticas]. El área del trapecio es [matemática] \ dfrac {1} {2} (a + b) h [/ matemática]. Deje que su centroide esté en el punto [math] y [/ math]. Por lo tanto, debe ser que
[matemáticas] \ dfrac {1} {2} (a + b) hy + \ dfrac {2} {3} h_1 \ times \ dfrac {1} {2} ah_1 = \ dfrac {2} {3} (h_1 + h) \ times \ dfrac {1} {2} b (h + h_1) [/ math]
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[matemáticas] \ implica y = \ dfrac {2 \ {b (h ^ 2 + 2hh_1 + h_1 ^ 2) – ah_1 ^ 2 \}} {3 (a + b) h} [/ matemáticas]
Para eliminar [math] h_1 [/ math], tenga en cuenta que al usar relaciones de similitud en triángulos, se puede demostrar que
[matemáticas] \ dfrac {h} {a – b} = \ dfrac {h_1} {a} \ implica h_1 = \ dfrac {ha} {a – b} [/ matemáticas]
Al sustituir esto en la ecuación anterior, tenemos
[matemáticas] y = \ dfrac {2 (bh ^ 2a ^ 2 – ah ^ 2b ^ 2)} {3 (a + b) (a – b) ^ 2h} [/ matemáticas]
Moviendo el origen a la parte superior del trapecio, finalmente tenemos el centroide del trapecio a distancia
[matemáticas] \ dfrac {2 (bh ^ 2a ^ 2 – ah ^ 2b ^ 2)} {3 (a + b) (a – b) ^ 2h} – h_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {2 (bh ^ 2a ^ 2 – ah ^ 2b ^ 2)} {3 (a + b) (a – b) ^ 2h} – \ dfrac {ha} {a – b} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ color {rojo} {\ dfrac {(2b-3a) h ^ 2a ^ 2 + ah ^ 2b ^ 2} {3 (a + b) (a – b) ^ 2h}} [/ matemáticas]
desde la parte superior del trapecio y en su eje de simetría.