¿Por qué es el seno de pi / 2 uno en lugar de decir que no está definido ya que no hay triángulo?

Answer 1

[math] sin (\ pi / 2) [/ math] está muy bien definido. Sin embargo, la forma en que formulaste esta pregunta me hace pensar que te han enseñado seno y coseno completamente equivocado. El seno y el coseno no son triángulos, sino círculos.

Para comprender esto, piense en un círculo con radio 1 en un gráfico de coordenadas xy típico.

Imaginándolo? Bueno.

Ahora, imagine un punto en la circunferencia del círculo donde se cruza con el eje x. En otras palabras, un punto en (1, 0). Este punto se encuentra actualmente en una rotación de 0 , es decir, no se ha movido desde su posición inicial.

Cambiemos eso girando el punto [math] \ pi / 2 [/ math] radianes, en sentido antihorario. Ahora el punto está en (0, 1).

¿Por qué son importantes estos puntos? Porque el coseno y el seno se definen como las coordenadas x e y de este punto, respectivamente, bajo una rotación específica.

Pero espere, si así es como definimos seno y coseno, ¿por qué todos los negocios con triángulos rectángulos?

La respuesta es engañosamente simple. Si dibujamos una línea desde el origen hasta cualquier punto de la circunferencia del círculo, esa línea es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las patas que representan sus coordenadas x e y. En otras palabras,

De esta manera, el coseno y el seno pueden verse simplemente como los componentes horizontal y vertical de una rotación.

Answer 2

El seno no está definido geométricamente. Tiene buenas propiedades que se prestan a interpretaciones geométricas, pero eso es una ventaja, no el punto de partida para la definición. El seno es una función de x, y sin (pi / 2) es uno. Intenta graficarlo.

Para una imagen más geométrica, usando la interpretación de que el seno de un ángulo en un triángulo es la relación del lado opuesto a la hipotenusa, tenga en cuenta que el lado opuesto a un ángulo de 90 grados es la hipotenusa. Entonces opp / hyp = hyp / hyp = 1

Answer 3

¿Quién dice que no hay triángulos en esos casos?

Cada vez que tienes 3 puntos y segmentos de línea recta entre esos 3 puntos, tienes un triángulo.

El hecho de que a veces 2 puntos estén en la misma ubicación, lo que significa que un segmento de línea es de longitud 0 y los otros 2 de la misma longitud, no significa que no sea un triángulo.

Con eso en mente, tome un triángulo (A, B, C) con un ángulo recto en el punto B. Si la longitud [BC] es cero, el ángulo en B sigue siendo un ángulo recto, y las longitudes de [AB} y {AC} son iguales.

Aplicando la definición geométrica de Seno, obtienes, sin (PI / 2) = 1.

Answer 4

Simplemente porque funciona. Sigue el patrón, y cuando comienzas a graficar y = sen x en un plano cartesiano, tiene sentido que esa respuesta sea una, no indefinida.

Puedes ver lo mismo en otros aspectos de las matemáticas. Tal como 0! al definir e (la suma de 1 / n! de 0 a infinito). Los ceros cero deberían ser 0, ¿verdad? Y 1/0 = indefinido. Bueno, para obtener la variable e, que se usa por todas partes en el cálculo, ¡1/0! es igual a 1, lo que significa 0! es igual a 1.

O 0 ^ 0? Oficialmente, no está definido. Pero, en el límite de x ^ x cuando x se acerca a 0, parece acercarse a 1. Y tiene sentido que sea igual a 1. Pero, de nuevo, sentido común. Cero ceros? Igual a 1.

El punto es: es, porque funciona. No tiene sentido cuando lo dibujas, o cuando lo miras lógicamente, pero las matemáticas no son un reflejo de la lógica. Las matemáticas son un reflejo de cómo funciona el mundo real, y debemos modelar las matemáticas de lo que vemos y de lo que funciona, no de lo que tiene sentido. Como la ciencia Si nos fijamos en la física aristotélica, todo se basó en la “deducción lógica”. Pero, cuando Newton y Galileo aparecieron y demostraron que estaba mal, tuvimos que reescribir la física para adaptarla al mundo real. Esto es lo mismo para las matemáticas.

Answer 5

Hay muchas dificultades con el uso de triángulos rectángulos como la base teórica de las funciones trigonométricas, mucho mayor que [matemática] \ sin \ frac {\ pi} {2} [/ matemática]. Por ejemplo, ¿qué sería [math] \ sin \ pi [/ math]? ¿Qué tal [matemáticas] \ sin 7 \ pi [/ matemáticas]?

Hay dos formas comunes de definir [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] para cualquier número real [matemáticas] x [/ matemáticas]. Una es definir [matemáticas] (\ sin t, \; \ cos t) = (x, y) [/ matemáticas], donde [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] es un punto en el círculo unitario con ángulo central [matemática] t [/ matemática] (medido en sentido antihorario desde el eje [matemática] x [/ matemática]).

El otro es definir [matemáticas] \ displaystyle \ sin x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n \, \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1 )!}[/matemáticas].

Ambos son lo suficientemente robustos para valores reales; el segundo es más difícil de trabajar, pero se generaliza muy bien a [math] \ mathbb {C} [/ math].

Answer 6

En el nivel más puramente teórico, el seno puede expresarse de manera completamente independiente de los triángulos. Si ‘no existe tal triángulo’, para ciertas definiciones de ‘triángulo’, eso no tiene relación alguna con el seno.

Answer 7

La función del seno significa que lo opuesto al ángulo divide la hipotenusa, cuando el ángulo es pi / 2 (90 °), el lado opuesto del ángulo 90 ° es la hipotenusa. Entonces, seno (90 °) = opuesto a 90 ° / hipotenusa = hipotenusa / hipotenusa = 1.

Answer 8

El seno se define en términos de un segmento de línea en un ángulo determinado a un eje x positivo con su punto final como origen. sin (pi / 2) = 1 ya que un segmento de línea pi / 2 radianes desde el eje x va hacia arriba, y la coordenada y del otro punto final es igual a la longitud del segmento.