¿Podría dar una prueba matemática de que un acorde de un círculo puede intersecar su circunferencia en un máximo de dos puntos?

Answer 1

Seguro. Fue hecho hace miles de años. Eche un vistazo a Elementos de Euclides, Libro III, Proposición 2 para ver la forma clásica de demostrar que el acorde no puede salir del círculo.

Basándome en lo que hizo Euclides (dado que esencialmente dice al final que la prueba de que el acorde no puede tocar la circunferencia es un ejercicio para el lector), usaré dos hechos clave de triángulos en los que confía:

El primer hecho es que si [matemática] ABC [/ matemática] es un triángulo, y la línea [matemática] AE [/ matemática] corta el segmento [matemática] BC [/ matemática] en [matemática] D [/ matemática], entonces el ángulo [matemático] ABC [/ matemático] es más pequeño que el ángulo [matemático] ADC [/ matemático].

El segundo hecho es que en un triángulo [matemático] ABC [/ matemático] si el ángulo [matemático] ABC [/ matemático] es mayor que el ángulo [matemático] ACB [/ matemático], entonces el lado [matemático] AC [/ matemático] (ángulo opuesto [matemática] ABC [/ matemática] es mayor que el lado [matemática] AB [/ matemática] (ángulo opuesto [matemática] ACB [/ matemática].

Entonces, ¿cómo ayuda esto?

Imagine un círculo centrado en [matemáticas] O [/ matemáticas] con un acorde [matemáticas] AB [/ matemáticas]. Sea [math] E [/ math] un punto arbitrario en [math] AB [/ math] entre [math] A [/ math] y [math] B [/ math]. Luego, la línea [math] OE [/ math] corta [math] AB [/ math] como se describe en el primer hecho, por lo que el ángulo [math] OEB [/ math] es mayor que el ángulo [math] OAB [/ math ]

Así que ahora veamos el triángulo [math] OAB [/ math]. Como [math] OA, OB [/ math] son ​​ambos radios del círculo, entonces los ángulos [math] OAB, OBA [/ math] (y, dado que [math] E [/ math] está en la línea [math] AB [/ matemática], ángulos [matemática] OAE, OBE [/ matemática] deben ser congruentes.

Esto significa que el ángulo [matemática] OEB> OBE [/ matemática], entonces el lado [matemática] OB> OE [/ matemática]. Entonces [math] E [/ math] está en el interior del círculo, como se desee.

Clásicamente, un acorde es un segmento de línea donde ambos extremos están en un círculo, y una tangente es una línea que interseca un círculo en un solo punto. Entonces, un acorde, por definición, no es una tangente.

Answer 2

Prueba por contradicción

Sean A, B y C los puntos en los que el acorde corta la circunferencia del círculo.

Como están en el mismo acorde, son colineales.

Une los puntos al centro del círculo O.

En [math] \ triangle OAC [/ math],

[matemática] OA = AC [/ matemática] (radio del círculo)

[math] \ Rightarrow \ angle OAC = \ angle OCA [/ math]

Llamemos [math] \ angle OAC [/ math], [math] x [/ math]

Similar,

En [math] \ triangle OCB [/ math],

[matemáticas] \ angle OCB = \ angle OBC [/ math]

En [math] \ triangle AOB [/ math],

[matemáticas] \ angle OAB = \ angle OBA [/ math]

[math] \ Rightarrow \ angle OCB = \ angle OBC = \ angle OAB = \ angle OBA = [/ math] [math] x [/ math]

[math] \ Rightarrow \ angle AOC = \ angle COB = 180 – 2x [/ math]

[matemática] \ Rightarrow y = 180-2x [/ matemática]

[math] \ Rightarrow \ angle AOB = 2 * \ angle COB [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow 2y = y [/ matemáticas]

esto es una contradicción

Answer 3

La idea básica es que está después de la intersección de la línea del acorde (digamos y = mx + c) con el círculo (wlog / desplazamiento de origen) x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. Entonces, sustituyendo el primero en el segundo, obtendrá una ecuación cuadrática en una de las variables, que tiene como máximo dos raíces reales. Por lo tanto, tendrá como máximo dos puntos de intersección. Si hay una raíz repetida de la cuadrática, entonces puede terminar con un punto de interacción común, que será una tangente