Tome dos líneas de longitud [matemáticas] d [/ matemáticas] y deje que se crucen exactamente en un punto. Mediante esta construcción, el cuadrilátero formado por los 4 puntos finales de las dos líneas (en sentido horario o antihorario) es un cuadrilátero convexo que tiene dos diagonales de longitud [matemática] d [/ matemática] cada una.
Nota: El cuadrilátero se degenera si una de las dos líneas es tangente a la otra, lo que lleva a un triángulo en lugar de un cuadrilátero, ya que uno de los 4 puntos está en la línea entre otros dos puntos.
El área del cuadrilátero es
[matemáticas] \ displaystyle A = \ frac {d ^ 2} {2} \ sin \ phi [/ math]
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con [math] \ phi [/ math] es el ángulo entre las dos líneas. Como [math] \ sin \ phi = \ sin (180 ^ \ circ- \ phi) [/ math], no importa cuál de los dos ángulos posibles se tomen.
La prueba de esta fórmula no es difícil, pero requiere algunos diagramas, por lo tanto, la omito. Echa un vistazo a Quadrilateral para más detalles.
La posición relativa de las dos líneas no importa. Puedes traducirlos como quieras; siempre que se crucen exactamente en un punto (lo que implica [matemática] \ phi> 0 [/ matemática]), aún obtendrá un área distinta de cero.
Obviamente, el área se maximiza si [math] \ sin \ phi [/ math] se maximiza, es decir, en [math] \ phi = 90 ^ \ circ [/ math], haciendo que el cuadrilátero sea un cuadrado con diagonal [math] d [ /matemáticas].
Sea [matemática] e [/ matemática] la distancia entre los dos puntos medios de las dos diagonales, y sea [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] y [matemáticas] f [/ matemáticas] sea la longitud de los cuatro lados del cuadrilátero. Nota: si [math] e = 0 [/ math], el cuadrilátero es un rectángulo.
Entonces se cumple la siguiente igualdad:
[matemáticas] \ displaystyle a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + f ^ 2 = 2d ^ 2 + 4e ^ 2 [/ matemáticas]
Sin embargo, no veo cómo puede relacionar el perímetro ([matemática] a + b + c + f [/ matemática]) del cuadrilátero con el área, dado que las diagonales son iguales.