¿Hay alguna interpretación de [math] \ pi [/ math] que sea independiente de los círculos?

Answer 1

¿Hay alguna interpretación de [math] \ pi [/ math] que sea independiente de los círculos?

[math] \ pi [/ math] es completamente independiente de los círculos en el sentido de que surge y se puede definir (de muchas maneras diferentes) sin Geometry. Quizás lo más fundamental aparece en el período de la función exponencial compleja:

[matemática] \ quad \ forall n \ in \ mathbb Z \ colon \ exp (2n \ pi i) = e ^ {2n \ pi i} = 1 [/ math] donde [math] i = \ sqrt {-1} [/matemáticas]

Sin embargo, una vez que defina la geometría (euclidiana), descubrirá varios hechos relacionados con el álgebra, que incluyen:

• La razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro es [matemática] \ pi [/ matemática]
• La razón de la circunferencia de un cuadrado a su diagonal es [math] \ sqrt2 [/ math]
• La razón de una diagonal de un pentágono regular a su lado es la llamada proporción áurea [matemáticas] \ phi = \ frac {\ sqrt5 + 1} 2 [/ matemáticas]

Por razones históricas, [math] \ pi [/ math] está más estrechamente asociado con los círculos que [math] \ sqrt2 [/ math] está asociado con los cuadrados. Sin embargo, los números son esencialmente entidades algebraicas en lugar de entidades geométricas, y sería un poco ridículo afirmar que [math] \ sqrt2 [/ math] de alguna manera depende de cuadrados geométricos.

Sin embargo, podría encontrar un cuadrado en cada lugar [math] \ sqrt2 [/ math] ocurre de la manera en que las personas insisten en que un círculo está “oculto” en cada lugar donde [math] \ pi [/ math] ocurre. Este es un ejercicio inútil e inútil que fundamentalmente no comprende la naturaleza de estos números y la relación entre Álgebra y Geometría.

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Traído a usted por la Campaña para desmitificar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]: no hay nada místico sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Answer 2

Aquí hay dos:
1) [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
En inglés, esto dice que la suma del cuadrado de todos los enteros positivos es igual a pi cuadrado sobre seis. Hay muchas pruebas para este conocido teorema, pero el punto es que no hay un círculo directamente involucrado en esta fórmula.
Sin embargo, casi todas las pruebas utilizarán alguna función relacionada con los círculos, ya sea seno o algún análisis de Fourier.

El Gran Fourier, padre del procesamiento de señales.

2) [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ 2} dx = \ sqrt {\ pi} [/ math]

En inglés, esto dice que el área bajo la curva de la función gaussiana (la famosa curva de campana) es la raíz cuadrada de pi. Esta fórmula es aún más hermosa ya que combina pi y e. Una vez más, no hay un círculo directamente involucrado, pero uno puede encontrar pruebas de esto que usan círculos.

Gauss, uno de los mejores matemáticos de la historia.

La cuestión con su pregunta es que cualquier cosa relacionada con pi puede relacionarse (a veces de manera compleja) con un círculo, eso es porque pi aparece como una constante fundamental en los círculos. Si tomamos, por ejemplo, la curva debajo del área de una función gaussiana (estándar) que es la raíz cuadrada de pi, también podemos relacionar cualquier cosa con pi con esta área. Siempre que tenga un pi en dos fórmulas, sabrá que hay alguna forma de conectarlos.

Y aquí tengo la sensación de que realmente no respondí la esencia de tu pregunta, porque pi apareció por primera vez con el círculo. Me gustaría reformular su pregunta para ponerme al día con esa esencia y luego responderé claramente la pregunta reformulada.

¿Alguna especie extraterrestre “inteligente” descubriría pi, incluso si no utilizan el concepto de círculos?

Para mí, la respuesta es sí, un círculo no es real, es un concepto creado por nosotros los humanos. Entonces, uno puede imaginar que algunas especies inteligentes nunca usaron círculos, pero si quieren hacer cálculos matemáticos y estudiar cantidades infinitamente grandes o pequeñas, tarde o temprano le darán a pi un papel importante.

Answer 3

Como yo era A2A, déjame repetir otra respuesta. Realmente deberías leer la respuesta de Alon Amit aquí: ¿Qué es pi? (Y mientras estamos en eso, ¿qué es e?) En realidad, no solo tú … TODOS deberían leerlo. Si tienes curiosidad acerca de pi, su publicación llega al corazón de una gran cantidad de ideas interconectadas y profundamente importantes en matemáticas, y pi está justo en el medio.

Las respuestas de Alon están consistentemente bien escritas, casi siempre a un nivel que los hace accesibles a personas que no son expertos, y tan perspicaces que siguen siendo interesantes para aquellos con bastante experiencia. Como ahora ha escrito más de 2000 respuestas, la mayoría de las personas que tienen interés en las matemáticas tendrían dificultades para encontrar una mejor manera de pasar unos meses que leer la mayor cantidad posible de ellas. Pero de las muchas respuestas de Alon que he leído, la que está vinculada aquí podría ser mi favorita. ¡Qué suerte tienes de haber hecho la pregunta correcta para esa respuesta!

Answer 4

Soy muy aficionado a una anécdota del matemático británico del siglo XIX Augustus De Morgan, relatada en su libro “Un presupuesto de paradojas” (publicado a mediados de la década de 1860). Ayuda a leerlo con tu acento británico falso y más exagerado:

Pero en realidad, como Alon Amit explica muy bien, [math] \ pi [/ math] puede verse más adecuadamente como el resultado de la solución de una ecuación diferencial muy natural, y cuando se ve de esa manera, UNO de los contextos en los que La solución es relevante es la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia y área. Sin embargo, aunque ese puede ser el primer contexto en el que nos encontramos con [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] a medida que aprendemos matemáticas, de ninguna manera es el único, o incluso el más fundamental.

Answer 5

Tomemos un problema de física muy simple y extremadamente común: ¿Qué pasaría si tuviera una fuerza sobre una masa que fuera proporcional a la distancia que esa masa era para el origen? En otras palabras, si combina la segunda ley de Newton [matemáticas] F = m \ ddot x [/ matemáticas] y una ley de fuerza de la forma [matemáticas] F = -kx [/ matemáticas]? Obtendría la ecuación diferencial de segundo orden [matemática] m \ ddot x = -kx [/ matemática] (o, de manera equivalente, [matemática] \ ddot x = – \ frac {k} {m} x [/ matemática].

Para explicar por qué este es un problema de física extremadamente común, cualquier fuerza conservadora puede verse como la derivada de un potencial, y donde ese potencial tiene un mínimo, la fuerza es, por lo tanto, cero, y una aproximación lineal de esa fuerza alrededor de ese mínimo potencial es va a tener la forma [math] -kx [/ math]. Entonces, alrededor de cualquier potencial mínimo, obtendrá algo que se parece aproximadamente a [math] m \ ddot x = -kx [/ math].

Como una simplificación adicional, consideremos dónde [matemática] k = m [/ matemática], entonces nuestra ecuación diferencial es [matemática] \ ddot x = -x [/ matemática]. Este es un problema matemático puro. Las soluciones a esto son funciones donde la segunda derivada es simplemente la negación de la función. La teoría de las ecuaciones diferenciales dice que hay dos soluciones independientes, y todas las demás soluciones son combinaciones lineales de esas dos soluciones independientes. ¿Qué sabemos sobre esas soluciones? En primer lugar, sabemos, al diferenciar ambos lados, que [math] \ dot {\ ddot x} = \ ddot {\ dot x ‘} = – \ dot x [/ math], entonces ambos [math] x, \ dot x [/ math] son ​​soluciones. Sabemos que [matemática] x ^ 2 + \ dot x ^ 2 [/ matemática] es una constante (tome la derivada: [matemática] 2x \ dot x + 2 \ dot x \ ddot x = 2 (x \ dot x – \ dot xx) = 0 [/ math]), sabemos que cuando [math] x> 0 [/ math], la gráfica de [math] x (t) [/ math] es cóncava hacia abajo, y cuando [math] x <0 [/ math] es cóncavo hacia arriba. Con unas pocas deducciones más, podemos concluir que [math] x (t) [/ math] debe ser periódico.

Resulta que el período de [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] puede mostrarse como [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]. No hay círculos a la vista.

Se podría argumentar que [matemática] x ^ 2 + \ dot x ^ 2 = C [/ matemática] está introduciendo círculos (ya que eso podría interpretarse como una ecuación para un círculo), pero esa fórmula surgió al observar las propiedades de esa ecuación diferencial, no de decir que debemos tratar con círculos. No estamos tratando con círculos; Estamos tratando con una propiedad de cualquier conjunto de fuerzas conservadoras en física.

Answer 6

¿Qué es [math] \ pi [/ math]? (y mientras estamos en eso, ¿qué es [math] e [/ math]?) de Alon Amit en Affine Mess

Answer 7

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac 1 {t ^ 2 + 1} dt = \ pi [/ math]

Si no conoce el cálculo y cuál es esa gran S extendida, es el área debajo de la curva de la función que sigue.

Pienso que es realmente genial. No solo no hay un círculo a la vista. No hay ninguna otra constante oscura (como e). No tenemos una serie infinita. Tenemos una función racional, que cualquier estudiante de álgebra puede dibujar, y el área entre esta curva y el eje x.

Answer 8

Pi es transendental.

e también es trascendental.

e ^ i * Pi = -1 ia una especie de dos trascendentales, una cantidad imaginaria y un número entero negativo. Esto me parece muy extraño. Esto tiene un círculo unitario oculto detrás de la ecuación en el plano complejo, no un círculo real y relaciones de circunferencia a diámetro.