Cómo determinar las ecuaciones de las líneas tangentes a la gráfica de [matemáticas] f (x) = 3x (5x ^ 2 + 1) [/ matemáticas] que son paralelas a la línea [matemáticas] y = 8x + 9 [/ matemáticas ]

Answer 1

Para facilitar los cálculos posteriores, comenzaremos expandiendo [math] f (x) [/ math]:

[matemáticas] f (x) = 15x ^ {3} + 3x [/ matemáticas]

A partir de esto, podemos deducir que f (x) es una función cúbica y, por lo tanto, puede tener hasta 2 tangentes con un gradiente particular y, por lo tanto, puede haber un máximo de dos tangentes a la curva que son paralelas a la línea [matemáticas ] y = 8x + 9 [/ matemáticas].

La ecuación [matemática] y = 8x + 9 [/ matemática] es una ecuación lineal de la forma pendiente-intersección [matemática] y = mx + c [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática], el gradiente, es igual a [matemática] 8 [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática], el valor [matemática] y [/ matemática] en el punto donde la línea intercepta la [matemática] y [/ matemática] – eje, es igual a [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

Esto significa que el gradiente de esta línea, junto con cualquier línea que sea paralela a ella, tiene un gradiente de [matemáticas] 8 [/ matemáticas].

Esto significa que las ecuaciones de las tangentes de la curva [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] que son paralelas a la línea [matemáticas] y = 8x + 9 [/ matemáticas] pueden escribirse como [matemáticas] y = 8x + c [/ math], donde [math] c [/ math] representa una constante que se encuentra para cada línea.

Para que podamos calcular los valores potenciales para [math] c [/ math], primero necesitamos encontrar un par de coordenadas por las que pasará una tangente.

Cada una de las tangentes se encuentra con la curva [matemática] f (x) [/ matemática] en un punto donde el gradiente de la curva es [matemática] 8 [/ matemática], y esto nos permite calcular coordenadas para que pase cada tangente .

Para calcular estas coordenadas, necesitamos una función que nos permita ingresar el gradiente y generar una coordenada.

La diferenciación de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] nos permite encontrar esta función:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 3 \ veces 15x ^ {3-1} + 3x ^ {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 45x ^ {2} +3 [/ matemáticas]

En un punto [matemático] (x, y) [/ matemático] en un gráfico, [matemático] \ frac {dy} {dx} [/ matemático] es igual al gradiente en ese punto. Por lo tanto, al sustituir [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] por [math] 8 [/ math] nos da:

[matemáticas] 8 = 45x ^ {2} +3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 = 45x ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {9} = x ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pm \ frac {1} {3} = x [/ matemáticas]

Esto nos da dos valores [matemáticos] x [/ matemáticos] en los que la curva [matemática] f (x) [/ matemática] tiene un gradiente de [matemática] 8 [/ matemática]: [matemática] \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ frac {1} {3} [/ matemáticas].

Para obtener los valores correspondientes [matemática] y [/ matemática], simplemente sustituimos [matemática] x [/ matemática] por cada uno de estos valores en [matemática] f (x) [/ matemática], donde [matemática] y = f (x) [/ matemáticas]:

[matemáticas] y = 15 (\ frac {1} {3}) ^ {3} +3 (\ frac {1} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 15 (\ frac {1} {27}) + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {15} {27} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {5} {9} + \ frac {9} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {14} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {1} {3}, \ frac {14} {9}) [/ matemáticas]

O

[matemáticas] y = 15 (- \ frac {1} {3}) ^ {3} +3 (- \ frac {1} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 15 (- \ frac {1} {27}) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {15} {27} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {5} {9} – \ frac {9} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {14} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- \ frac {1} {3}, – \ frac {14} {9}) [/ matemáticas]

Ahora sabemos que las dos tangentes a la curva [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] que estamos tratando de encontrar tienen un gradiente de [matemáticas] 8 [/ matemáticas], con una que pasa por el punto [matemáticas] ( \ frac {1} {3}, \ frac {14} {9}) [/ math], y el otro pasando por el punto [math] (- \ frac {1} {3}, – \ frac {14} {9}). [/ Matemáticas]

Anteriormente, expliqué que las dos tangentes seguirían la ecuación [matemáticas] y = 8x + c [/ matemáticas], donde [matemáticas] c [/ matemáticas] es el valor [matemáticas] y [/ matemáticas] en el punto donde la línea intercepta el eje [math] y [/ math]. Ahora podemos calcular el valor de [math] c [/ math] para cada tangente sustituyendo los valores de [math] x [/ math] y [math] y [/ math] en la ecuación por los que acabamos de encontrar:

[matemáticas] y = 8x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {14} {9} = 8 (\ frac {1} {3}) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {14} {9} = \ frac {8} {3} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {14} {9} = \ frac {24} {9}) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {10} {9} = c [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 8x- \ frac {10} {9} [/ matemáticas]

O

[matemáticas] y = 8x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {14} {9} = 8 (- \ frac {1} {3}) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {14} {9} = – \ frac {8} {3} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {14} {9} = – \ frac {24} {9}) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {10} {9} = c [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 8x + \ frac {10} {9} [/ matemáticas]

Esto nos da dos ecuaciones:

[matemáticas] y = 8x- \ frac {10} {9} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y = 8x + \ frac {10} {9} [/ matemáticas]

Estas ecuaciones representan líneas paralelas a las representadas por [matemáticas] y = 8x + 9 [/ matemáticas], y son tangentes a la curva representada por [matemáticas] f (x) = 3x (5x ^ {2} +1) [/matemáticas].

Answer 2

Necesitarás resolver f ‘(x) = y’:

Primero :

[matemáticas] y ‘= 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = u * v [/ matemáticas]

[matemáticas] u = 3x [/ matemáticas] y [matemáticas] v = 5x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemática] u ‘= 3 [/ matemática] y [matemática] v’ = 10x [/ matemática]

[matemáticas] f ‘(x) = u’ * v + v ‘* u [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 3 (5x ^ 2 + 1) + 10x (3x) = [/ matemáticas]

[matemáticas] 15x ^ 2 + 3 + 30x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 45x ^ 2 + 3 [/ matemáticas]

Ahora resolvemos y ‘= f’ (x)

[matemáticas] 45x ^ 2 + 3 = [/ matemáticas] 8

[matemáticas] 45x ^ 2 – 5 = 0 [/ matemáticas]

Factorizar con 5:

[matemáticas] 5 (9x ^ 2 – 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9x ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (3x +1) (3x -1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1/3 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 1/3 [/ matemáticas]

Ecuación de línea tangente:

[matemáticas] y = f ‘(a) (xa) + f (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = f ‘(1/3) (1/3 – x) + f (1/3) [/ matemáticas] y

[matemáticas] y = f ‘(- 1/3) (- 1/3 – x) + f (-1/3) [/ matemáticas]

Answer 3

pendiente de la tangente = df (x) / dx = 45x ^ 2 + 3 = 8 (pendiente requerida)

==> 45x ^ 2 = 5

x ^ 2 = 1/9 ==> x = +1/3 o -1/3

supongamos que y = 8x + c serán las tangentes requeridas

en x = 1/3, f (x) es 14/9, entonces 14/9 = 8/3 + c (y = 8x + c) ==> c = -10/3

en x = -1/3, f (x) es -4/9, entonces -4/9 = 8/3 + c (y = 8x + c) ==> c = -28/3

entonces las tangentes son y = 8x-10/3 e y = 8x-28/3

Answer 4

Dado [matemáticas] f (x) = 3x (5x ^ {2} +1) [/ matemáticas], [matemáticas] f ‘(x) = 45x ^ {2} +3 [/ matemáticas]. Las pendientes de las líneas tangentes son cada una igual a [math] 8 [/ math]. Ahora buscamos puntos en la curva donde la pendiente es igual a [matemática] 8 [/ matemática] por la ecuación [matemática] f ‘(x) = 8 [/ matemática], o [matemática] 45x ^ {2} + 3 = 8 \ implica x = \ pm \ frac {1} {3} [/ math]. Estos valores de [matemática] x [/ matemática] se sustituyen en [matemática] f (x) [/ matemática] para obtener las coordenadas de los puntos en la curva donde la pendiente de la curva es igual a [matemática] 8 [/ matemáticas]. Las coordenadas así obtenidas son [matemáticas] (\ pm \ frac {1} {3} [/ matemáticas], [matemáticas] \ pm \ frac {8} {3}) [/ matemáticas]. Las líneas tangentes pasan a través de estos puntos, por lo que sus ecuaciones son [matemáticas] (y- \ frac {8} {3}) = 8 (x- \ frac {1} {3}) [/ matemáticas] y [matemáticas] ( y + \ frac {8} {3}) = 8 (x + \ frac {1} {3}). [/ math]

Answer 5

Comience por encontrar f ‘(x):

f ‘(x) = d / dx (3x (5x ^ 2 + 1)) = d / dx (15x ^ 3 + 3x) = 45x ^ 2 + 3.

Ahora, la pendiente de y = 8x + 9 es 8, por lo que establece f ‘(x) = 8 para obtener los puntos en los que las líneas tangentes son paralelas:

45x ^ 2 + 3 = 8

45x ^ 2 = 5

x ^ 2 = 1/9

x = +/- 1/3

Entonces, en x = +/- 1/3, la pendiente de las líneas tangentes es 8. Encuentre f (-1/3) = -14/9 yf (1/3) = 14/9 y use la pendiente de punto fórmula para ambos:

En x = -1/3:

y + 14/9 = 8 (x + 1/3)

En x = 1/3

y – 14/9 = 8 (x – 1/3)

Puede hacer algo de álgebra para simplificar a la forma pendiente-intersección si eso es lo que pide la pregunta.

Answer 6

Esto suena como una pregunta de tarea. Te daré una pista: diferencia f (x) y establece la pendiente igual a la derivada de 8x + 9 (que es 8). y resuelve para x.